Question

20．如圖，四邊形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分別找一點M、N，使△AMN周長最小時，則∠AMN+∠ANM的度數為（　　）

• A． 135°
• B． 130°
• C． 125°
• D． 120°

Answer 1

分析 根據要使△AMN的周長最小，即利用點的對稱，讓三角形的三邊在同一直線上，作出A關于BC和CD的對稱點A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″=60°，進而得出∠AMN+∠ANM=2（∠AA′M+∠A″）即可得出答案．

解答 解：作A關于BC和CD的對稱點A′，A″，連接A′A″，交BC于M，交CD于N，則A′A″即為△AMN的周長最小值．
∵∠DAB=120°，
∴∠AA′M+∠A″=180°-120°=60°，
∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，
且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠AA′M+∠A″）=2×60°=120°，
故選：D．

點評 此題主要考查了平面內最短路線問題求法，以及三角形的外角的性質和垂直平分線的性質等知識的綜合應用，根據軸對稱的性質，得出M，N的位置是解題的關鍵．