Question

10．已知：如圖，點M，N分別在正△ABC（AB=BC=CA，且∠BAC=∠ABC=∠C=60°）的BC，CA邊上，且BM=CN，AM，BN交于點Q．

（1）求證：∠BQM=60°．
請你完成這道思考題：
（2）做完（1）后，同學們在老師的啟發(fā)下進行了反思，提出了許多問題，如：
①若將題中“BM=CN”與“∠BQM=60°”的位置交換，得到的是否仍是真命題？
②若將題中的點M，N分別移動到BC，CA的延長線上，是否仍能得到∠BQM=60°？
③若將題中的條件“點M，N分別在正三角形ABC的BC，CA邊上”改為“點M，N分別在正方形ABCD（AB=BC=CD=DA，∠BAD=∠ABC=∠C=∠D=90°）的BC，CD邊上”，是否仍能得到∠BQM=60°？…
請你作出判斷，在下列橫線上填寫“是”或“否”：①真命題；②能；③不能．并對②，③的判斷，選擇一個給出證明．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)SAS定理得出△ABM≌△BCN，故可得出∠BAM=∠CBN，再由∠BQM=∠AQN，∠AQN是△ABQ的外角即可得出結論；
（2）①根據(jù)ASA定理得出△ABM≌△BCN，由全等三角形的性質(zhì)即可得出結論；
②同①可證△ABN≌△CAM，由全等三角形的性質(zhì)即可得出結論；
③由SAS證明△ABM≌△CBN，得出對應角相等∠BAM=∠CBN，再由直角三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可得出結論．

解答 （1）證明：∵△ABC是正三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=60°，
在△ABM與△BCN中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}&{\;}\\{∠ABC=∠C}&{\;}\\{BM=CN}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM=∠CBN，
∵∠BQM=∠AQN，∠AQN是△ABQ的外角，
∴∠BQM=∠AQN=∠BAM+∠ABN=∠CBN+∠ABN=∠ABC=60°，
∴∠BQM=60°；
（2）解：①仍為真命題；理由如下：
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=60°，
∵∠BQM=∠AQN=60°，
∴∠BAM+∠ABN=60°，
∵∠ABN+∠CBN=60°，
∴∠BAM=∠CBN，
在△ABM與△BCN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAM=∠CBN}&{\;}\\{AB=BC}&{\;}\\{∠ABC=∠C}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△BCN（ASA），
∴BM=CN；
②解：能得到∠BQM=60°；理由如下：
如圖2所示，同①可證△ABN≌△CAM，
∴∠N=∠M，
∵∠NAQ=∠CAM，
∴∠BQM=∠ACB=60°，
∴仍能得到∠BQM=60°．
③不能得到∠BQM=60°，∠BQM=90°，理由如下：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=90°，
在△ABM和△CBN中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}&{\;}\\{∠ABM=∠BCN=90°}&{\;}\\{BM=CN}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△CBN（SAS），
∴∠BAM=∠CBN，
∵∠BAM+∠AMB=90°，
∴∠CBN+∠AMB=90°，
∴∠BQM=90°；
故答案為：真命題，能，不能．

點評 本題是四邊形綜合題目，考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)等知識；本題綜合性強，有一定難度，證明三角形全等是解決問題的關鍵．