Question

2．已知：如圖，△ABC中，DB=DC，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，與CD相交于點F，H是BC邊的中點，連結DH與BE相交于點G．
（1）求證：△BDF≌△CDA；
（2）求證：CE=$\frac{1}{2}$BF．

Answer 1

分析 （1）根據ASA證出△BDF≌△CDA即可；
（2）推出∠AEB=∠CEB，∠ABE=∠CBE，根據ASA證出△AEB≌△CEB，推出AE=CE即可．

解答 （1）證明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDF=∠ADC=∠FEC=90°
∵∠DBF=90°-∠BFD，∠DCA=90°-∠EFC，且∠BFD=∠EFC，
∴∠DBF=∠DCA．
在Rt△DFB和Rt△DAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDF=∠ADC}\\{BD=CD}\\{∠DBF=∠ACD}\end{array}\right.$，
∴Rt△DFB≌Rt△DAC（AAS）．

（2）證明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE．
在Rt△BEA和Rt△BEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠CEB}\\{BE=BE}\\{∠ABE=∠CBE}\end{array}\right.$，
∴Rt△BEA≌Rt△BEC（ASA）．
∴CE=AE=$\frac{1}{2}$AC．
又由（1），知BF=AC，
∴CE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$BF

點評 本題考查了全等三角形的性質和判定、等腰直角三角形的性質、等腰三角形的判定和性質等知識，關鍵是推出△BDF≌△CDA和△AEB≌△CEB，屬于中考常考題型．