Question

18．如圖，⊙O的直徑CD垂直于弦AB，垂足為E，∠ACD=22.5°，CD=4．
（1）求AB的長；
（2）求∠BAC的正切值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊對等角可得∠OAC=∠OCA=22.5°，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得∠COE=45°，進而求出AE的長，再根據(jù)垂徑定理可得答案；
（2）求出CE的長，利用正切值的定義求出答案．

解答 解：（1）連結(jié)OA．
∵∠ACD=22.5°，
∴∠AOD=45°，
∵CD⊥AB，
∴∠AEO=90°，
∴AE=OE，
在Rt△AOE中，OA=2，
∴AE=OE=$\sqrt{2}$，
由垂徑定理，得AB=2AE=2$\sqrt{2}$；
（2）∵CE=2+$\sqrt{2}$，AE=$\sqrt{2}$，
∴tan∠BAC=$\frac{CE}{AE}$=$\frac{2+\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$+1．

點評 此題主要考查了圓周角定理、垂徑定理以及解直角三角形等知識，關(guān)鍵是掌握垂直弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．