Question

8．如圖，已知BC是以AB為直徑的⊙O的切線，且BC=AB，連接OC交⊙O于點D，延長AD交BC于點E，F為BE的中點．
（1）求證：DF是⊙O的切線；
（2）若OB=1，求DF的長．

Answer 1

分析 （1）連接BD，根據等邊對等角可得∠FDB=∠FBD，∠ODB=∠OBD，然后根據切線的性質即可證得；
（2）證明△CDF∽△CBO，利用相似三角形的對應邊的比相等求得BC的長，然后在直角△OBC中利用勾股定理求解．

解答 （1）證明：連接BD，
∵AB是直徑，
∴∠BDA=90°，
∴∠BDE=90°，
又∵F為BE的中點，
∴EF=BF=DF，
∴∠FBD=∠FDB，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∵BC是⊙O的切線，AB是直徑，
∴AB⊥BC，
∴∠FBD+∠OBD=90°，
∴∠FDO=∠FDB+∠ODB=∠FBD+∠OBD=90°，

∴OD⊥DF，
∴DF是圓的切線；
（2）解：在△CDF和△CBO中
∵∠FDO═∠CBO，
∠C=∠C
∴△CDF∽△CBO，
∴$\frac{DF}{OB}$=$\frac{CD}{CB}$，
∵BC=AB=2OB=2，
∴DF=$\frac{1}{2}$CD，
在直角△OBC中，由勾股定理得，OC=$\sqrt{C{B}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴CD=$\sqrt{5}$-1，
∴DF=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

點評 本題考查了切線的判定，等腰三角形的性質等知識點．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．