Question

18．如圖，△ABC是等邊三角形，點D是BC上的點，點E是射線CN上的點，且CN∥AB，聯(lián)結(jié)AD、AE、DE
（1）當(dāng)∠DAE=60°時，求證：∠ADE是等邊三角形；
（2）當(dāng)∠ADE=60°時，“△ADE是等邊三角形”還成立嗎？若成立請證明，若不成立，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AB=AC，∠BAC=∠B=60°，由平行線的性質(zhì)得到∠ACE=∠BAC，等量代換得到∠BAD=∠CAE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AD=AE，于是得到結(jié)論；
（2）在AB上截取AM=CD，連接DM，得到△BDM是等邊三角形，求得∠BMD=∠BDM=60°根據(jù)三角形的內(nèi)角和和平角的定義得到∠1=∠2，推出∠AMD=∠DCE=120°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AD=DE，于是得到結(jié)論．

解答 （1）證明：△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠B=60°，
∵CN∥AB，
∴∠ACE=∠BAC，
∴∠B=∠ACE，
∵∠DAE=60°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD與△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠ACE}\\{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE，
∴AD=AE，
∴△DAC是等邊三角形；

（2）成立，在AB上截取AM=CD，連接DM，
∵AB=BC，
∴BM=BD，
∵∠B=60°，
∴△BDM是等邊三角形，
∴∠BMD=∠BDM=60°，
∴∠AMD=120°，
∴∠1+∠ADB=180°-60°=120°，
∠2+∠ADB=120°，
∴∠1=∠2，
∵CN∥AB，
∴∠ACE=∠BAC=60°，
∴∠AMD=∠DCE=120°，
在△AMD與△DEC中$\left\{\begin{array}{l}{∠2=∠1}\\{AM=DC}\\{∠AMD=∠DCE}\end{array}\right.$，
∴△AMD≌△DCE，
∴AD=DE，
∵∠DAE=60°，
∴△ADE是等邊三角形．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．