Question

13．如圖，已知拋物線與x軸只有一個交點A（-2，0），與y軸交于點B（0，4）．
（1）求拋物線對應的函數解析式；
（2）過點B作平行于x軸的直線交拋物線與點C．
①若點M在拋物線的AB段（不含A、B兩點）上，求四邊形BMAC面積最大時，點M的坐標；
②在平面直角坐標系內是否存在點P，使以P、A、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在直接寫出所有滿足條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知可設拋物線對應函數的解析式為：y=a（x+2）²（a≠0），把點B坐標代入求出a即可．
（2）①）①如圖1中，設點M的坐標為（m，（m+2）²），其中-2＜m＜0，則N點坐標（m，0）．若要四邊形BMAC的面積最大，只要BMA的面積最大即可，構建二次函數，利用二次函數的性質即可解決問題．
（3）有三種情形，先畫出圖形，利用中點坐標公式一一求解即可．

解答 解：（1）由已知可設拋物線對應函數的解析式為：y=a（x+2）²（a≠0），
∵拋物線與y軸交于點B（0，4）
∴4=a（0+2）²
解得：a=1
∴拋物線對應的解析式為：y=（x+2）²．

（2）①如圖1中，設點M的坐標為（m，（m+2）²），其中-2＜m＜0，
則N點坐標（m，0）．

∵A、B、C是定點，
∴若要四邊形BMAC的面積最大，
只要BMA的面積最大即可．
過M做MN⊥x軸于點N，則
S_△AOB=$\frac{1}{2}$OA•OB=$\frac{1}{2}$×2×4=4
S_△AMN=$\frac{1}{2}$AN•MN=$\frac{1}{2}$×[m-（-2）]×（m+2）²=$\frac{1}{2}$（m+2）³
S_梯形ONMB=$\frac{1}{2}$ON（MN+OB）
=$\frac{1}{2}$×（-m）×[（m+2）²+4]
=-$\frac{1}{2}$（m³+4m²+8m）
∴S_△AMB=S_△AOB-S_△AMN-S_梯形ONMB
=4-$\frac{1}{2}$（m+2）³-[-$\frac{1}{2}$（m³+4m²+8m）]
=-m²-2m，
當m=-1時，S_△AMB最大，
∵（-1+2）²=1
∴此時點M的坐標為（-1，1）．
②存在．如圖2中，

∵四邊形ABP₁C是平行四邊形，
∴FC=FB，AF=FP₁，
∵B（0，4），C（-4，4），
∴F（-2，4），
設P₁（x，y），則有$\frac{-2+x}{2}$=-2，$\frac{0+y}{2}$=4，
∴x=-2，y=8，
∴P₁（-2，8），同法可得P₂（-6，0），P₃（2，0）．
所有滿足條件的點P的坐標是（2，0）、（-6，0）、（-2，8）．

點評 本題考查二次函數綜合題、平行四邊形的判定和性質、中點坐標公式、待定系數法等知識，解題的關鍵是靈活應用頂點式確定函數解析式，學會根據二次函數解決最值問題，學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考常考題型．