Question

1．在正方形ABCD中，點P是邊BC上一個動點，連結PA，PD，點M，N分別為BC，AP的中點，連結MN交直線PD于點E．
（1）如圖1，當點P與點B重合時，△EPM的形狀是等腰直角三角形；
（2）當點P在點M的左側時，如圖2．
①依題意補全圖2；
②判斷△EPM的形狀，并加以證明．

Answer 1

分析 （1）由在正方形ABCD中，可得∠ABC=90°，AB=BC，又由點P與點B重合，點M，N分別為BC，AP的中點，易得BN=BM．即可判定△EPM的形狀是：等腰直角三角形；
（2）①首先根據題意畫出圖形；
②首先在MC上截取MF，使MF=PM，連接AF，易得MN是△APF的中位線，證得∠1=∠2，易證得△ABF≌△DCP（SAS），則可得∠2=∠3，繼而證得∠1=∠2，則可判定△EPM的形狀是：等腰三角形．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC，
∵點M，N分別為BC，AP的中點，
∴當點P與點B重合時，BN=BM，
∴當點P與點B重合時，△EPM的形狀是：等腰直角三角形；
故答案為：等腰直角三角形；

（2）①補全圖形，如圖1所示．

②△EPM的形狀是等腰三角形．
證明：在MC上截取MF，使MF=PM，連接AF，
如圖2所示：∵N是AP的中點，PM=MF，
∴MN是△APF的中位線．
∴MN∥AF．
∴∠1=∠2，
∵M是BC的中點，PM=MF，
∴BM+MF=CM+PM．
即BF=PC．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°，AB=DC．
在△ABF和△DCP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DC}\\{∠B=∠C}\\{BF=CP}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△DCP（SAS）．
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3．
∴EP=EM．
∴△EPM是等腰三角形．

點評 此題屬于四邊形的綜合題．考查了正方形的性質、等腰直角三角形的判定、等腰三角形的判定、三角形中位線的性質以及全等三角形的判定與性質．注意準確作出輔助線是解此題的關鍵．