Question

如圖，在矩形ABCD中，延長AD至E，使AE=AC，F(xiàn)為CE的中點，連接BF．
（1）若AB=24，BC=7，求CE的長；
（2）求證：∠ACB=2∠CBF．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),直角三角形斜邊上的中線,勾股定理

專題：

分析：（1）根據(jù)勾股定理可求AC的長，根據(jù)等量關(guān)系和線段之間的和差關(guān)系得到DE的長，再根據(jù)勾股定理可求CE的長；
（2）連結(jié)AF，過F點作FG⊥AB于G，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，以及四點共圓的性質(zhì)即可求解．

解答： （1）解：在Rt△ABC中，∵AB=24，BC=7，
∴AC=

AB2+BC2

=25，
∵AE=AC，
∴AE=25，
∴DE=AE-AD=18，
在Rt△CDE中，CE=

DE2+CD2

=30，；
（2）證明：連結(jié)AF，過F點作FG⊥AB于G，
∵AE=AC，F(xiàn)為CE的中點，
∴AF⊥CE，
∴FG是等腰三角形AFB的角平分線，中線，
∴FG∥BC，
∴∠GFB=∠CBF，
∴∠AFB=2∠CBF，
∵∠AFC+∠ABC=90°+90°=180°，
∴A、B、C、F四點共圓，
∴∠ACB=∠AFB=2∠CBF．

點評：考查了勾股定理，等量關(guān)系和線段之間的和差關(guān)系，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，以及四點共圓的判定和性質(zhì)，綜合性較強，有一定的難度，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線．