Question

如圖，已知：AB=DC，AD=BC．
（1）求證：∠E=∠F；
（2）若BM=ND，EF與AC交于O點，求證：EO=FO．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質

專題：證明題

分析：（1）根據SSS來判定△ABC≌△CDA，根據全等三角形的對應角相等即可得出∠BAC=∠DCA，根據內錯角相等兩直線平行證得AE∥CF，然后根據平行線的性質即可證得結論；
（2））由△ABC≌△CDA，得出∠ABC=∠CDA，進而得出∠MBE=∠NDF，根據AAS判定△BEM≌△DFN，根據全等三角形的對應邊相等即可得出BE=DF，進而求得AE=CF，然后ASA判定△AOE≌△COF，根據全等三角形的對應邊相等即可得出EO=FO．

解答： （1）證明：在△ABC與△CDA中，

AB=DC BC=AD AC=CA

，
∴△ABC≌△CDA（SSS）．
∴∠BAC=∠DCA，
∴AE∥CF，
∴∠E=∠F；
（2）∵△ABC≌△CDA，
∴∠ABC=∠CDA，
∴∠MBE=∠NDF，
在△BEM與△DFN中，

∠MBE=∠NDF ∠E=∠F BM=ND

，
∴△BEM≌△DFN（AAS），
∴BE=DF，
∴AB+BE=DC+DF，即AE=CF，
在△AOE與△COF中，

∠E=∠F AE=CF ∠EAC=∠FCA

，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴EO=FO．

點評：本題考查三角形全等的判定方法和平行線的判定和性質，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．