Question

16．如圖，△ABC是等邊三角形，AB=2，D是邊BC的中點．點P從點A出發，沿AB-BD以每秒1個單位長度的速度向終點D運動．同時點Q從點C出發，沿CA-AC以每秒1個單位長度的速度運動．當點P停止運動時，點Q也隨之停止運動．設點P的運動時間為t（秒）．
（1）求線段PB的長（用含t的代數式）．
（2）當△PQD是等邊三角形時，求出t的值．

Answer 1

分析 （1）根據當0≤t≤2和2≤t≤3時兩種情況進行解答即可；
（2）根據等邊三角形的性質和AAS證明△BPD與△CDQ全等解答即可．

解答 解：（1）∵△ABC是等邊三角形，AB=2，
∴當0≤t≤2時，BP=2-t；
當2≤t≤3時，BP=t-2；
（2）∵△PQD是等邊三角形，∴∠PDQ=60°，
∴∠PDB+∠CDQ=120°，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∴∠PDB+∠BPD=120°，
∴∠BPD=∠CDQ，
∵BD=CD，
在△BPD與△CDQ中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BPD=∠CDQ}&{\;}\\{∠B=∠C}&{\;}\\{BD=DC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BPD≌△CDQ（AAS），
∴BP=CQ，
∴2-t=t，
∴t=1．

點評 本題考查了等邊三角形的判定和性質、全等三角形的判定與性質；熟練掌握等邊三角形的性質，證明三角形全等是解決問題的關鍵．