Question

6．已知：如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=ax²+bx-2（a≠0）與x軸交于A（1，0）、B（3，0）兩點，與y軸交于點C，其頂點為點D，點E的坐標為（0，-1），該拋物線與BE交于另一點F，連接BC．
（1）求該拋物線的解析式，并用配方法把解析式化為y=a（x-h）²+k的形式；
（2）若點H（1，y）在BC上，連接FH，求△FHB的面積；
（3）一動點M從點D出發，以每秒1個單位的速度沿平行與y軸方向向上運動，連接OM，BM，設運動時間為t秒（t＞0），在點M的運動過程中，當t為何值時，∠OMB=90°？
（4）在x軸上方的拋物線上，是否存在點P，使得∠PBF被BA平分？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數法即可解決問題．
（2）如圖1中，先求出點F坐標，根據S_△FHB=$\frac{1}{2}$GH×|x_G-x_F|+$\frac{1}{2}$GH×|x_B-x_G|計算即可．
（3）如圖2中，設M（2，m），（m＞$\frac{4}{3}$），因為OM²=m²+4，BM²=m²+1，OB²=9，∠OMB=90°，根據OM²+BM²=OB²，可得m²+4+m²+1=9，解方程即可解決問題．
（4）存在點P，使∠PBF被BA平分，在y軸上取一點N（0，1），求出直線BN的解析式為y=-$\frac{1}{3}$x+1，利用方程組即可求出點P坐標．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx-2（a≠0）與x軸交于A（1，0）、B（3，0）兩點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b-2=0}\\{9a+3b-2=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{2}{3}}\\{b=\frac{8}{3}}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{8}{3}$x-2=-$\frac{2}{3}$（x-2）²+$\frac{2}{3}$；               

（2）如圖1，

過點A作AH∥y軸交BC于H，BE于G，由（1）有，C（0，-2），
∵B（0，3），
∴直線BC解析式為y=$\frac{2}{3}$x-2，
∵H（1，y）在直線BC上，
∴y=-$\frac{4}{3}$，
∴H（1，-$\frac{4}{3}$），
∵B（3，0），E（0，-1），
∴直線BE解析式為y=$\frac{1}{3}$x-1，
∴G（1，-$\frac{2}{3}$），
∴GH=$\frac{2}{3}$，
∵直線BE：y=-$\frac{1}{3}$x-1與拋物線y=-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{8}{3}$x-2相較于F，B，
∴F（$\frac{1}{2}$，-$\frac{5}{6}$），
∴S_△FHB=$\frac{1}{2}$GH×|x_G-x_F|+$\frac{1}{2}$GH×|x_B-x_G|=$\frac{1}{2}$GH×|x_B-x_F|=$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$×（3-$\frac{1}{2}$）=$\frac{5}{6}$．                                                              

（3）如圖2，

由（1）有y=-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{8}{3}$x-2，
∵D為拋物線的頂點，∴D（2，$\frac{2}{3}$），
∵一動點M從點D出發，以每秒1個單位的速度平沿行與y軸方向向上運動，
∴設M（2，m），（m＞$\frac{2}{3}$），
∴OM²=m²+4，BM²=m²+1，OB²=9，
∵∠OMB=90°，
∴OM²+BM²=OB²，
∴m²+4+m²+1=9，
∴m=$\sqrt{2}$或m=-$\sqrt{2}$（舍），
∴M（0，$\sqrt{2}$），
∴MD=$\sqrt{2}$-$\frac{2}{3}$，
∵一動點M從點D出發，以每秒1個單位的速度平沿行與y軸方向向上運動，
∴t=$\sqrt{2}$-$\frac{2}{3}$；                                                

（4）存在點P，使∠PBF被BA平分，
如圖3，

∴∠PBO=∠EBO，
∵E（0，-1），
∴在y軸上取一點N（0，1），
∵B（3，0），
∴直線BN的解析式為y=-$\frac{1}{3}$x+1①，
∵點P在拋物線y=-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{8}{3}$x-2②上，
聯立①②得$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{3}x+1}\\{y=-\frac{2}{3}{x}^{2}+\frac{8}{3}x-2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{2}}\\{y=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=0}\end{array}\right.$（舍），
∴P（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$）．

點評 本題考查二次函數綜合題、待定系數法、一次函數的應用、三角形的面積角平分線等知識，解題時根據靈活運用所學知識，學會構建一次函數，利用方程組求兩個函數的交點坐標，屬于中考常考題型．