Question

17．如圖，在△ABC中，D為AC上一點，且CD=CB，以BC為直徑作⊙O，交BD于點E，連接CE，過D作DF⊥AB于點F，∠BCD=2∠ABD，求證：
（1）AB是⊙O的切線；
（2）若∠A=60°，DF=$\sqrt{3}$，求tan∠BCE的值．

Answer 1

分析 （1）由CD=CB，∠BCD=2∠ABD，可證得∠BCE=∠ABD，繼而求得∠ABC=90°，則可證得AB是⊙O的切線；
（2）由∠A=60°，DF=$\sqrt{3}$，可求得AF、BF的長，易證得△ADF∽△ACB，然后由相似三角形的對應邊成比例，求得BC=4$\sqrt{3}$+6，AB=2$\sqrt{3}$+4，進而求得BF=AB-AF=2$\sqrt{3}$+3，解直角三角形求得答案．

解答 （1）證明：∵CD=CB，
∴∠CBD=∠CDB，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠CEB=90°，
∴∠CBD+∠BCE=∠CDB+∠DCE，
∴∠BCE=∠DCE，
即∠BCD=2∠BCE，
∵∠BCD=2∠ABD，
∴∠ABD=∠BCE，
∴∠CBD+∠ABD=∠CBD+∠BCE=90°，
∴CB⊥AB，
∵CB為直徑，
∴AB是⊙O的切線；

（2）解：∵∠A=60°，DF=$\sqrt{3}$，
∴在Rt△AFD中，AF=$\frac{DF}{tan60°}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$=1，AD=2
∵DF⊥AB，CB⊥AB，
∴DF∥BC，
∴∠ADF=∠ACB，
∵∠A=∠A，
∴△ADF∽△ACB，
∴$\frac{DF}{BC}$=$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AF}{AB}$，
設BC=x，則$\frac{\sqrt{3}}{x}$=$\frac{2}{x+2}$=$\frac{1}{AB}$，解得x=4$\sqrt{3}$+6．
∴BC=4$\sqrt{3}$+6，AB=2$\sqrt{3}$+4，
∴BF=AB-AF=2$\sqrt{3}$+3，
∴tan∠DBF=$\frac{DF}{BF}$=$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}+3}$=2-$\sqrt{3}$，
∴∠ABD=∠BCE，
∴tan∠BCE=2-$\sqrt{3}$．

點評 此題考查了切線的判定、等腰三角形的性質以及相似三角形的判定與性質．注意證得△ADF∽△ACB是解此題的關鍵．