Question

5．計算$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2^2}$+$\frac{1}{2^3}$+…+$\frac{1}{2^n}$．
第1次分割，把正方形的面積二等分，其中陰影部分的面積為$\frac{1}{2}$；
第2次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續二等分，陰影部分的面積之和為$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$=$\frac{3}{4}$（列出式子）；
第3次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續二等分，陰影部分面積之和$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$=$\frac{7}{8}$（列出式子）…；
…
第n次分割，所有陰影部分的面積之和1-$\frac{1}{{2}^{n}}$，最后空白部分的面積是$\frac{1}{{2}^{n}}$．
根據第n次分割圖可得等式：$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2^2}$+$\frac{1}{2^3}$+…+$\frac{1}{2^n}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．

Answer 1

分析 根據陰影部分的面積等于單位1減去空白部分的面積即可．

解答 解：第1次分割，把正方形的面積二等分，其中陰影部分的面積為$\frac{1}{2}$；
第2次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續二等分，陰影部分的面積之和為$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$=$\frac{3}{4}$；
第3次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續二等分，陰影部分面積之和$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$=$\frac{7}{8}$…；
…
第n次分割，所有陰影部分的面積之和1-$\frac{1}{{2}^{n}}$，最后空白部分的面積是$\frac{1}{{2}^{n}}$．
根據第n次分割圖可得等式：$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2^2}$+$\frac{1}{2^3}$+…+$\frac{1}{2^n}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$=$\frac{7}{8}$，1-$\frac{1}{{2}^{n}}$，$\frac{1}{{2}^{n}}$，1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．

點評 本題考查了圖形的變化類問題，解題的關鍵能夠發現應用部分的面積的求法，難度不大．