Question

16．如圖，在⊙O中，AB為⊙O的直徑，AB=4．動點P從A點出發，以每秒π個單位的速度在⊙O上按順時針方向運動一周．設動點P的運動時間為t秒，點C是圓周上一點，且∠AOC=40°，當t=$\frac{4}{9}$或$\frac{14}{9}$或$\frac{22}{9}$或$\frac{32}{9}$秒時，點P與點C中心對稱，且對稱中心在直徑AB上．

Answer 1

分析 根據中心對稱的定義，可得P點的位置，根據弧長公式，可得$\widehat{AP}$，根據路程除以速度等于時間，可得答案．

解答 解：如圖，
當∠AOP₁=40°時，P₁與C₁對稱，$\widehat{A{P}_{1}}$=4π×$\frac{40}{360}$=$\frac{4π}{9}$，t=$\frac{4π}{9}$÷π=$\frac{4}{9}$；
當∠AOP₂=140°時，P₂與C₁對稱，$\widehat{A{P}_{2}}$=4π×$\frac{140}{360}$=$\frac{14}{9}$π，t=$\frac{14π}{9}$÷π=$\frac{14}{9}$；
當∠AOP₃=220°時，P₃與C₂對稱，$\widehat{A{P}_{3}}$=4π×$\frac{220}{360}$=$\frac{22π}{9}$，t=$\frac{22π}{9}$÷π=$\frac{22}{9}$；
當∠AOP₄=320°時，P₄與C₁對稱，$\widehat{A{P}_{4}}$=4π×$\frac{320}{360}$=$\frac{32}{9}$π，t=$\frac{32π}{9}$÷π=$\frac{32}{9}$；
故答案為：$\frac{4}{9}$或$\frac{14}{9}$或$\frac{22}{9}$或$\frac{32}{9}$．

點評 本題考查了中心對稱，利用中心對稱得出P點的位置是解題關鍵，又利用了弧長公式，要分類討論，以防遺漏．