Question

15．如圖，P為等邊△ABC內一點，PA=2，PB=1，PC=$\sqrt{3}$，則△ABC的面積為$\frac{7\sqrt{3}}{4}$．

Answer 1

分析 根據等邊三角形的性質BA=BC，∠ABC=60°，則把△BPC繞點B逆時針旋轉60°得到△BDA，利用旋轉的性質有BD=BP=1，AD=CP=$\sqrt{3}$，∠DBP=∠ABC=60°，△BAD≌△BCP，于是可判斷△BDP為等邊三角形，所以PD=PB=1，∠BPD=∠BDP=60°，S_△BPD=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，接著利用勾股定理的逆定理證明∠ADP=90°，則∠APD=60°，S_△ADP=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以S_△PAB+S_△PBC=S_△ADB+S_△PAB=S_△ADP+S_△BPD=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，然后證明△APC為直角三角形，則S_△APC=$\sqrt{3}$，所以S_△ABC=S_△PAB+S_△PBC+S_△APC=$\frac{7\sqrt{3}}{4}$．

解答 解：∵△ABC為等邊三角形，
∴BA=BC，∠ABC=60°，
把△BPC繞點B逆時針旋轉60°得到△BDA，
∴BD=BP=1，AD=CP=$\sqrt{3}$，∠DBP=∠ABC=60°，△BAD≌△BCP，
∴△BDP為等邊三角形，
∴PD=PB=1，∠BPD=∠BDP=60°，S_△BPD=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×1²=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
在△ADP中，∵AD=$\sqrt{3}$，PD=1，PA=2，
∴AD²+PD²=PA²，
∴△ADP為直角三角形，∠ADP=90°，
而PA=2PD，
∴∠APD=60°，S_△ADP=$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴S_△PAB+S_△PBC=S_△ADB+S_△PAB=S_△ADP+S_△BPD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
∵∠ADB=∠ADP+∠BDP=90°+60°=150°，
∴∠BPC=150°，
∵∠APB=∠APD+∠BPD=60°+60°=120°，
∴∠APC=360°-150°-120°=90°，
∴△APC為直角三角形，
∴S_△APC=$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
∴S_△ABC=S_△PAB+S_△PBC+S_△APC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$+$\sqrt{3}$=$\frac{7\sqrt{3}}{4}$．
故答案為$\frac{7\sqrt{3}}{4}$．

點評 本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．解決本題的關鍵是勾股定理的應用和證明∠APC=90°．