Question

18．給定一列數，我們把這列數中的第一個數記為a₁，第二個數記為a₂，第三個數記為a₃，依此類推，第n個數記為a_n，（n為正整數），如下面這列數1，3，5，7，9中，a₁=1，a₂=3，a₃=5，a₄=7，a₅=9．
規定運算sun（a₁：a_n）=a₁+a₂+a₃+…+a_n．即從這列數的第一個數開始依次加到第n個數，如在上面的一列數中，sun
（a₁：a₃）=a₁+a₂+a₃=1+3+5=9．
（1）已知一列數1，-2，3，-4，5，-6，7，-8，9，-10，則a₃=3，sun（a₁：a₁₀）=-5．
（2）已知一列有規律的數：（-1）¹×1，（-1）²×2，（-1）³×3，（-1）⁴×4，…，按照規律，這列數可以無限的寫下去．
①sun（a₁：a₂₀₁₆）=1008．
②是否有正整數n滿足等式sun（a₁：a_n）=-50成立？如果有，寫出n的值，如果沒有，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據a_n表示第n個數可得a₃，將前10個數相加可得；
（2）①根據題意列出算式，先計算乘方，計算加法即可得；
②分n為奇數和n為偶數兩種情況，分別列出方程求解可得．

解答 解：（1）一列數1，-2，3，-4，5，-6，7，-8，9，-10，
則a₃=3，sun（a₁：a₁₀）=1-2+3-4+5-6+7-8+9-10=-1×5=-5，
故答案為：3，-5；

（2）①sun（a₁：a₂₀₁₆）=（-1）¹×1+（-1）²×2+（-1）³×3+（-1）⁴×4+…+（-1）²⁰¹⁶×2016
=-1+2-3+4-…-2+2016
=1×1008
=1008；
②當n為奇數時，有sun（a₁：a_n）=$\frac{n-1}{2}$-n=-50，
解得：n=101，此時成立；
當n為偶數時，有sun（a₁：a_n）=$\frac{n}{2}$=-50，
解得：n=-100，與題意不符，此時不成立．
故答案為：1008．

點評 本題主要考查數字的變化規律，理解題意弄清a_n、sun（a₁：a_n）所表示的意義及分類討論思想的運用是解題的關鍵．