Question

3．如圖，以點B為頂點的拋物線y=ax²+2ax-3a（a＞0）分別交x軸，y軸負半軸于點A，C，BD⊥y軸交y軸于點D（0，-4），點P在拋物線上運動．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在直線AC的下方是否存在點P，使得△ACP面積最大？若存在，求出P點坐標，若不存在，請說明理由；
（3）過P作直線PE⊥直線BD，交BD于點E，將△BPE沿BP折疊到△BPF，使點F恰好落在x軸上？若存在，求P點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可知點B的縱坐標為-4，然后將拋物線的解析式可變形為y=a（x+1）²-4a，故此可求得a的值，然后可求得拋物線的解析式；
（2）先求得點A和點C的坐標，然后再求得直線AC的解析式，設點P的坐標為（x，x²+2x-3），過點P作PG⊥x軸交AC與點H，則H（x，-x-3）．然后用含x的式子表示出PH的長，最后依據三角形的面積公式得到S_△PAC與x的函數關系，最后利用二次函數的性質求解即可；
（3）過點B作BG⊥x軸與G點，直線PE交x軸于點Q，由翻折的性質得到PF=PE，BF=BE，∠PFB=∠PEB=90°，設P（t，t²+2t-3），則E（t，-4），Q（t，0），則∴PF=PE=t²+2t+1，BF=BE=|t+1|．接下來，證明△PQF∽△FGB．，依據相似三角形的性質可得到關于t的方程，最后依據方程是否有解即可作出判斷．

解答 解：（1）∵點D的坐標為（0，-4），BD⊥y軸，
∴點B的縱坐標為-4．
由y=ax²+2ax-3a=a（x²+2x-3）=a（x²+2x+1-4）=a（x+1）²-4a，
∴-4a=-4，解得a=1，
∴拋物線的解析式為y=x²+2x-3．
（2）令y=0得：x²+2x-3=0，解得：x=-3或x=1，
∴點A（-3，0）．
令x=0得y=-3，
∴C（0，-3）．
設直線AC的解析式為y=kx+b，將點A和點C的解析式代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
解得：k=-1，b=-3．
∴直線AC的解析式為y=-x-3．
如圖所示：

設點P的坐標為（x，x²+2x-3），過點P作PG⊥x軸交AC與點H，
則H（x，-x-3）．則PH=（-x-3）-（x²+2x-3）=-x²-3x．
∴S_△PAC=$\frac{1}{2}$×3×（-x²-3x）=-$\frac{3}{2}$（x+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$．
∵點P在直線AC的下方，
∴-3＜t＜0，
∴x=-$\frac{3}{2}$時，△ACP的面積最大．
此時點P的坐標為（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{4}$）．
（3）不存在．

理由如下：如圖，過點B作BG⊥x軸與G點，直線PE交x軸于點Q，△BPF由△BPE沿BP折疊而成．
∴PF=PE，BF=BE，∠PFB=∠PEB=90°．
設P（t，t²+2t-3），則E（t，-4），Q（t，0）．
∴PF=PE=t²+2t+1，BF=BE=|t+1|．
∵∠GBF+∠GFB=90°，∠PFQ+∠BFG=90°，
∴∠PFQ=∠GBF．
又∠PFB=∠PEB=90°．
∴△PQF∽△FGB．
∴$\frac{PF}{FB}=\frac{QF}{GB}$．
在Rt△PQF中，QF=$\sqrt{（{t}^{2}+2t+1）^{2}-（{t}^{2}+2t-3）^{2}}$=2$\sqrt{2（{t}^{2}+2t-1）}$．
∴$\frac{{t}^{2}+2t+1}{|t+1|}=\frac{2\sqrt{2（{t}^{2}+2t-1）^{2}}}{4}$，整理得：t²+2t+3=0，
∵△＜0，
∴方程無解．
∴不存在這樣的點P．

點評 本題主要考查的是二次函數的綜合應用，解答本題主要應用了待定系數法求一次函數、二次函數的解析式、二次函數的性質、相似三角形的性質和判定，一元二次方程根的判別式，證得△PQF∽△FGB，然后依據相似三角形的性質列出關于t的方程是解題的關鍵．