Question

1．求所有正整數n，使得存在正整數x₁，x₂，…，x₂₀₁₂，滿足x₁＜x₂＜…＜x₂₀₁₂，且$\frac{1}{x_1}+\frac{2}{x_2}+…+\frac{2012}{{{x_{2012}}}}=n$．

Answer 1

分析 首先得出 $n=\frac{1}{x_1}+\frac{2}{x_2}+…+\frac{2012}{{{x_{2012}}}}$≤$\frac{1}{1}+\frac{2}{2}+…+\frac{2012}{2012}=2012$，進而利用當n=1時，以及當n=k+1時，求出原式的取值范圍，進而得出答案．

解答 解：由于x₁，x₂，…，x₂₀₁₂都是正整數，且x₁＜x₂＜…＜x₂₀₁₂，
所以x₁≥1，x₂≥2，…，x₂₀₁₂≥2012．
于是  $n=\frac{1}{x_1}+\frac{2}{x_2}+…+\frac{2012}{{{x_{2012}}}}$≤$\frac{1}{1}+\frac{2}{2}+…+\frac{2012}{2012}=2012$，
當n=1時，令x₁=2012，x₂=2×2012，…，x₂₀₁₂=2012×2012，
則$\frac{1}{x_1}+\frac{2}{x_2}+…+\frac{2012}{{{x_{2012}}}}=1$．
當n=k+1時，其中1≤k≤2011，
令 x₁=1，x₂=2，…，x_k=k，x_k+1=（2012-k）（k+1），x_k+2=（2012-k）（k+2），x₂₀₁₂=（2012-k）×2012，
則$\frac{1}{x_1}+\frac{2}{x_2}+…+\frac{2012}{{{x_{2012}}}}=k+（2012-k）•\frac{1}{2012-k}$=k+1=n．
綜上，滿足條件的所有正整數n為1，2，…，2012．

點評 此題主要考查了整數問題的綜合應用，正確得出當n=1時，以及當n=k+1時原式的取值是解題關鍵．