Question

18．如圖，O為坐標原點，點A在第一象限，且在函數y=$\frac{2}{x}$的圖象上．延長AO，交雙曲線于另一點B，過點A作AD⊥x軸于點D，過點B作BC⊥x軸于點C，連接AC、BD．（注：不能用雙曲線關于原點對稱解答下列問題）
（1）若點A坐標為（1，2），求點B的坐標；
（2）若點A為動點，猜想四邊形ADBC是什么特殊四邊形？并證明；
（3）在（2）的條件下，①四邊形ADBC的面積會變化嗎？如果不變，求出四邊形ADBC的面積；如果要變，請說明理由．②點A運動到什么位置時，AB有最小值？求出點A的坐標和AB的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出直線OA的解析式，構建方程組求出交點B的坐標即可．
（2）四邊形ACBD是平行四邊形．如圖，設A（a，$\frac{2}{a}$），可得直線OA的解析式為y=$\frac{2}{{a}^{2}}$x，由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2}{x}}\\{y=\frac{2}{{a}^{2}}x}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=a}\\{y=\frac{2}{a}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-a}\\{y=-\frac{2}{a}}\end{array}\right.$，推出B（-a，-$\frac{2}{a}$），推出A、B關于原點對稱，由此即可解決問題．
（3））①結論：四邊形ADBC的面積不變．根據S_{平行四邊形ACBD}=2S_△ADC=2×$\frac{1}{2}$•AD•CD=2×$\frac{1}{2}$•（$\frac{2}{a}$）•2a=4，可知平行四邊形ACBD的面積是定值．
②由（2）可知A（a，$\frac{2}{a}$），B（-a，-$\frac{2}{a}$），可知AB=$\sqrt{（2a）^{2}+（\frac{4}{a}）^{2}}$=$\sqrt{（2a-\frac{4}{a}）^{2}+16}$，所以當2a=$\frac{4}{a}$時，即a=$\sqrt{2}$時，線段AB有最小值，最小值為4．

解答 解：（1）∵A（1，2），
∴直線OA的解析式為y=2x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{y=\frac{2}{x}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
∴點B坐標為（-1，-2）．

（2）結論：四邊形ACBD是平行四邊形．
理由：如圖，設A（a，$\frac{2}{a}$），
∴直線OA的解析式為y=$\frac{2}{{a}^{2}}$x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2}{x}}\\{y=\frac{2}{{a}^{2}}x}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=a}\\{y=\frac{2}{a}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-a}\\{y=-\frac{2}{a}}\end{array}\right.$，
∴B（-a，-$\frac{2}{a}$），
∴A、B關于原點對稱，
∴OA=OB，
∵BC⊥x軸，AD⊥x軸，
∴BC∥AD，BC=AD，
∴四邊形ACBD是平行四邊形．

（3）①結論：四邊形ADBC的面積不變．
理由：由（2）可知A（a，$\frac{2}{a}$），B（-a，-$\frac{2}{a}$），
∵S_{平行四邊形ACBD}=2S_△ADC=2×$\frac{1}{2}$•AD•CD=2×$\frac{1}{2}$•（$\frac{2}{a}$）•2a=4，
∴平行四邊形ACBD的面積是定值．
②由（2）可知A（a，$\frac{2}{a}$），B（-a，-$\frac{2}{a}$），
∴AB=$\sqrt{（2a）^{2}+（\frac{4}{a}）^{2}}$=$\sqrt{（2a-\frac{4}{a}）^{2}+16}$，
∴當2a=$\frac{4}{a}$時，即a=$\sqrt{2}$時，線段AB有最小值，最小值為4，
此時A（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）．

點評 本題考查反比例函數綜合題、一次函數的應用，平行四邊形的判定和性質、兩點間距離公式等知識，解題的關鍵是學會構建函數，理解方程組求兩個函數的交點坐標，屬于中考壓軸題．