Question

8．已知：如圖1，直線y=$\frac{3}{4}$x+6與x軸、y軸分別交于點A、C兩點，點B的橫坐標為2．

（1）求A、C兩點的坐標和拋物線的函數關系式；
（2）點D是直線AC上方拋物線上任意一點，P為線段AC上一點，且S_△PCD=2S_△PAD，求點P的坐標；
（3）如圖2，另有一條直線y=-x與直線AC交于點M，N為線段OA上一點，∠AMN=∠AOM．點Q為x軸負半軸上一點，且點Q到直線MN和直線MO的距離相等，求點Q的坐標．

Answer 1

分析 （1）根據直線y=$\frac{3}{4}$x+6，可得A（-8，0），C（0，6），設拋物線解析式為y=a（x+8）（x-2），把C（0，6）代入，可得拋物線的函數關系式；
（2）過P作PH⊥AO于H，根據S_△PCD=2S_△PAD，可得AP：PC=1：2，即AH：HO=1：2，進而得到OH=$\frac{2}{3}$AO=8×$\frac{2}{3}$=$\frac{16}{3}$，在直線y=$\frac{3}{4}$x+6中，當x=$-\frac{16}{3}$時，y=$\frac{3}{4}$×（$-\frac{16}{3}$）+6=2，可得點P的坐標為（$-\frac{16}{3}$，2）；
（3）分兩種情況進行討論：①當點Q₁為∠NMO的平分線與x軸的交點時，點Q₁到直線MN和直線MO的距離相等；②當點Q₂為∠NMO的鄰補角的平分線與x軸的交點時，點Q₂到直線MN和直線MO的距離相等，根據相似三角形的性質求得N（-$\frac{192}{49}$，0），再根據角平分線的性質可得點Q₁的坐標為（$-\frac{16}{7}$，0）；最后根據MQ₁⊥MQ₂，可得直線MQ₂解析式為y=$\frac{1}{3}$x+$\frac{32}{7}$，進而得到點Q₂的坐標為（$-\frac{96}{7}$，0）．

解答 解：（1）在y=$\frac{3}{4}$x+6中，
令x=0，則y=6；令y=0，則x=-8，
∴A（-8，0），C（0，6），
∵點B的橫坐標為2，
∴B（2，0），
設拋物線解析式為y=a（x+8）（x-2），則
把C（0，6）代入，得6=a×（-16），
∴a=-$\frac{3}{8}$，
∴y=-$\frac{3}{8}$（x+8）（x-2），
即$y=-\frac{3}{8}{x^2}-\frac{9}{4}x+6$；

（2）如圖所示，過P作PH⊥AO于H，
∵S_△PCD=2S_△PAD，
∴AP：PC=1：2，
∵PH∥CO，
∴AH：HO=1：2，
即OH=$\frac{2}{3}$AO，
又∵AO=8，
∴OH=8×$\frac{2}{3}$=$\frac{16}{3}$，
∴點P的橫坐標為$-\frac{16}{3}$，
在直線y=$\frac{3}{4}$x+6中，當x=$-\frac{16}{3}$時，y=$\frac{3}{4}$×（$-\frac{16}{3}$）+6=2，
∴點P的縱坐標為2，
∴點P的坐標為（$-\frac{16}{3}$，2）；

（3）分兩種情況：
①當點Q₁為∠NMO的平分線與x軸的交點時，點Q₁到直線MN和直線MO的距離相等，
∵直線y=-x與直線y=$\frac{3}{4}$x+6交于點M，
∴M（-$\frac{24}{7}$，$\frac{24}{7}$），
又∵A（-8，0），
∴由兩點間距離公式可得AM=$\sqrt{（-\frac{24}{7}+8）^{2}+（\frac{24}{7}）^{2}}$=$\frac{40}{7}$，
∵∠AMN=∠AOM，∠MAN=∠OAM，
∴△AMN∽△AOM，
∴AM²=AN×AO，即（$\frac{40}{7}$）²=AN×8，
∴AN=$\frac{200}{49}$，
∴ON=AO-AN=$\frac{192}{49}$，
即N（-$\frac{192}{49}$，0），
∴由兩點間距離公式可得MN=$\frac{120}{49}\sqrt{2}$，MO=$\frac{24}{7}\sqrt{2}$，
∵MQ₁平分∠NMO，
∴$\frac{O{Q}_{1}}{N{Q}_{1}}$=$\frac{MO}{MN}$=$\frac{7}{5}$，
∴OQ₁=$\frac{7}{12}$NO=$\frac{7}{12}×\frac{192}{49}$=$\frac{16}{7}$，
即點Q₁的坐標為（$-\frac{16}{7}$，0）；

②當點Q₂為∠NMO的鄰補角的平分線與x軸的交點時，點Q₂到直線MN和直線MO的距離相等，
根據Q₁（$-\frac{16}{7}$，0），M（-$\frac{24}{7}$，$\frac{24}{7}$），可得
直線MQ₁解析式為y=-3x-$\frac{48}{7}$，
∵MQ₁⊥MQ₂，
∴可設直線MQ₂解析式為y=$\frac{1}{3}$x+b，
把M（-$\frac{24}{7}$，$\frac{24}{7}$）代入，可得b=$\frac{32}{7}$，
∴直線MQ₂解析式為y=$\frac{1}{3}$x+$\frac{32}{7}$，
∴當y=0時，0=$\frac{1}{3}$x+$\frac{32}{7}$，
解得x=-$\frac{96}{7}$，
即點Q₂的坐標為（$-\frac{96}{7}$，0）．
綜上所述，點Q的坐標為（$-\frac{16}{7}$，0）或（$-\frac{96}{7}$，0）．

點評 本題屬于二次函數綜合題，主要考查了待定系數法求函數解析式，角平分線的性質，平行線分線段成比例定理，相似三角形的判定與性質以及兩點間的距離公式的綜合應用，解決問題的關鍵是運用兩點間距離公式求得線段的長，運用分類思想進行求解．