Question

16．如圖，已知等邊三角形ABC的邊長為$2\sqrt{3}$，它的頂點A在拋物線y=x²-2$\sqrt{3}$x上運動，且始終使BC∥x軸．
（1）當頂點A運動至原點O時，頂點C是否在該拋物線上？
（2）△ABC在運動過程中被x軸分成兩個部分時，若上、下兩個部分的面積之比為1：8（即S_上：S_下=1：8），求此時頂點A的坐標；
（3）△ABC在運動過程中，當點B在坐標軸上時，求此時頂點C的坐標．

Answer 1

分析 （1）當頂點A運動至與原點重合時，設BC與y軸交于點D，如圖所示．由等邊三角形的性質可以求出AD的值，從而求出C的坐標．
（2）過點A作AD⊥BC于點D，設出A點的坐標，由條件表示出AD的值，再由三角函數求出AD的值，從而建立等量關系，就可以求出A的坐標．
（3）B點在坐標軸上有兩種情況，當B點在x軸上時，則A的縱坐標為3，代入拋物線的解析式求出A的橫坐標就可以求出C的坐標；當B點y軸上時，可以求出A點的橫坐標$\sqrt{3}$，代入拋物線的解析式可以求出A點的縱坐標，從而求出C點的坐標．

解答 解：（1）當頂點A運動至與原點重合時，設BC與y軸交于點D，如圖所示．
∵BC∥x軸，BC=AC=2$\sqrt{3}$，
∴CD=$\sqrt{3}$，AD=3，
∴C點的坐標為（$\sqrt{3}$，-3），
∵當x=$\sqrt{3}$時，y=（$\sqrt{3}$）²-2$\sqrt{3}$×$\sqrt{3}$=-3，
∴當頂點A運動至與原點重合時，頂點C在拋物線上．

（2）過點A作AD⊥BC于點D，
設點A的坐標為（x，x²-2$\sqrt{3}$x）．
∵BC∥x軸，
∴x軸上部分的三角形∽△ABC，
∵S_上：S_下=1：8，
∴S_上：S_△ABC=1：9，
∴AD=3（x²-2$\sqrt{3}$x），
∵等邊△ABC的邊長為2$\sqrt{3}$，
∴AD=AC•sin60°=3，
∴3（x²-2$\sqrt{3}$x）=3，
∴x²-2$\sqrt{3}$x-1=0，
解方程，得 x=$\sqrt{3}$±2，
∴頂點A的坐標為（$\sqrt{3}$+2，1）或（$\sqrt{3}$-2，1）．

（3）當頂點B落在x軸時，則A點縱坐標為3，
∴3=x²-2$\sqrt{3}$x，
∴x=$\sqrt{3}$-$\sqrt{6}$或$\sqrt{3}$+$\sqrt{6}$，
∴頂點C的坐標為（2$\sqrt{3}$-$\sqrt{6}$，0）、（2$\sqrt{3}$+$\sqrt{6}$，0），
當頂點B落在y軸時，則A點橫坐標為$\sqrt{3}$，
∴y=x²-2$\sqrt{3}$x=-3，
∴頂點C的坐標為（2$\sqrt{3}$，-6），
綜上所述，頂點C的坐標為（2$\sqrt{3}$-$\sqrt{6}$，0）、（2$\sqrt{3}$+$\sqrt{6}$，0）、（2$\sqrt{3}$，-6）．

點評 本題是一道二次函數的綜合試題，考查了點的坐標，三角形的面積，等邊三角形的性質，相似三角形的判定及性質的綜合應用．解這類問題關鍵是善于將函數問題轉化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關性質、定理和二次函數的知識，并注意挖掘題目中的一些隱含條件．