Question

8．如圖，點O是△ABC內一點，連結OB、OC，并將AB、OB、OC、AC的中點D、E、F、G依次連結，得到四邊形DEFG．
（1）求證：四邊形DEFG是平行四邊形；
（2）若M為EF的中點，OM=5，∠OBC和∠OCB互余，求DG的長度．

Answer 1

分析 （1）根據三角形的中位線性質求出DG∥BC，EF∥BC，DG=$\frac{1}{2}$BC，EF=$\frac{1}{2}$BC，求出DG∥EF，DG=EF，根據平行四邊形的判定得出即可；
（2）求出∠BOC=90°，根據直角三角形的斜邊上中線性質得出EF=2OM，即可求出答案．

解答 （1）證明：∵邊AB、OB、OC、AC的中點分別為D、E、F、G，
∴DG∥BC，EF∥BC，DG=$\frac{1}{2}$BC，EF=$\frac{1}{2}$BC，
∴DG∥EF，DG=EF，
∴四邊形DEFG是平行四邊形；

（2）解：∵∠OBC和∠OCB互余，
∴∠OBC+∠OCB=90•，
∴∠BOC=90°，
∵M為EF的中點，
∴OM=$\frac{1}{2}$EF，
∵OM=5，DG=EF，
∴DG=EF=2OM=10．

點評 本題考查了三角形的中位線性質，平行四邊形的性質，互余，直角三角形斜邊上中線性質等知識點，能熟練地運用定理進行推理是解此題的關鍵．