Question

7．已知：如圖，O為坐標原點，四邊形OABC為長方形，A（10，0），C（0，4），點D是OA的中點，點P在BC上運動．
（1）當△ODP是等腰三角形時，請直接寫出點P的坐標；
（2）求△ODP周長的最小值．（要有適當?shù)膱D形和說明過程）

Answer 1

分析 （1）當P₁O=OD=5或P₂O=P₂D或P₃D=OD=5或P₄D=OD=5時分別作P₂E⊥OA于E，DF⊥BC于F，P₄G⊥OA于G，利用勾股定理P₁C，OE，P₃F，DG的值，就可以求出P的坐標；
（2）作點D關于BC的對稱點D′，連接OD′交BC于P，則這時的△POD的周長最小，即△POD的周長=OD′+OD，根據(jù)勾股定理得到OD′=$\sqrt{O{D}^{2}+DD{′}^{2}}$=$\sqrt{91}$，于是得到結論．

解答 解：（1）當P₁O=OD=5時，由勾股定理可以求得P₁C=3，
P₂O=P₂D時，作P₂E⊥OA，
∴OE=ED=2.5；
當P₃D=OD=5時，作DF⊥BC，由勾股定理，得P₃F=3，
∴P₃C=2；
當P₄D=OD=5時，作P₄G⊥OA，由勾股定理，得
DG=3，
∴OG=8．
∴P₁（2，4），P₂（2.5，4），P₃（3，4），P₄（8，4）；

（2）作點D關于BC的對稱點D′，連接OD′交BC于P，
則這時的△POD的周長最小，
△POD的周長=OD′+OD，
∵點D是OA的中點，
∴OD=5，DD′=8，
∴OD′=$\sqrt{O{D}^{2}+DD{′}^{2}}$=$\sqrt{89}$，
∴△POD的周長=$\sqrt{89}$+5．

點評 本題考查了軸對稱-最小距離問題，矩形的性質，坐標與圖形的性質，等腰三角形的性質，平行四邊形的判定及性質，菱形的判定及性質，勾股定理的運用．