Question

20．如圖，在平面直角坐標系中，菱形OBCD的邊OB在x軸上，反比例函數y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象經過菱形對角線的交點A，且與邊BC交于點F，點A的坐標為（4，2）．則點F的坐標是（6，$\frac{4}{3}$）．

Answer 1

分析 將點A的坐標代入到反比例函數的一般形式后求得k值即可確定函數的解析式，過點A作AM⊥x軸于點M，過點C作CN⊥x軸于點N，首先求得點B的坐標，然后求得直線BC的解析式，求得直線和雙曲線的交點坐標即可．

解答 解：∵反比例函數y=$\frac{k}{x}$的圖象經過點A，A點的坐標為（4，2），
∴k=2×4=8，
∴反比例函數的解析式為y=$\frac{8}{x}$；
過點A作AM⊥x軸于點M，過點C作CN⊥x軸于點N，
由題意可知，CN=2AM=4，ON=2OM=8，
∴點C的坐標為C（8，4），
設OB=x，則BC=x，BN=8-x，
在Rt△CNB中，x²-（8-x）²=4²，
解得：x=5，
∴點B的坐標為B（5，0），
設直線BC的函數表達式為y=ax+b，
∵直線BC過點B（5，0），C（8，4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{5a+b=0}\\{8a+b=4}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{4}{3}}\\{b=-\frac{20}{3}}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{20}{3}$，
根據題意得方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{3}x-\frac{20}{3}}\\{y=\frac{8}{x}}\end{array}\right.$，
解此方程組得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-8}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$．
∵點F在第一象限，
∴點F的坐標為（6，$\frac{4}{3}$）．
故答案為：（6，$\frac{4}{3}$）．

點評 本題考查了反比例函數圖象上的點的坐標特點、待定系數法確定反比例函數的解析式等知識，解題的關鍵是能夠根據點C的坐標確定點B的坐標，從而確定直線的解析式．