Question

8．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，且∠A+∠CDB=90°，過點A，D作⊙O，使圓心O在AB上，⊙O與AB交于點E．
（I）求證：BD與⊙O相切．
（2）若點D是AC的中點．求tan∠DBA的值．

Answer 1

分析 （1）連接OD，如圖，利用∠A=∠1和∠A+∠CDB=90°可得到∠1+∠CDB=90°，則∠BDO=90°，然后根據切線的判定定理可得到結論；
（2）連接DE，如圖，設AD=a，則CD=x，利用圓周角定理得到∠ADE=90°，則DE∥AB，再證明∠CDB=∠ABC判定△CDB∽△CBA，利用相似比可計算出BC=$\sqrt{2}$a，接著利用勾股定理分別計算出BD=$\sqrt{3}$a，AB=$\sqrt{6}$a，則OD=$\frac{\sqrt{6}}{4}$a，然后在Rt△BOD中利用正切的定義求解．

解答 （1）證明：連接OD，如圖，
∵OA=OD，
∴∠A=∠1，
∵∠A+∠CDB=90°，
∴∠1+∠CDB=90°，
∴∠BDO=90°，
∴OD⊥BD，
∴BD與⊙O相切；

（2）解：連接DE，如圖，設AD=a，則CD=x，
∵AE為直徑，
∴∠ADE=90°，
而∠C=90°，
∴DE∥AB，
∴∠AED=∠ABC，AE=BE，
∵∠A+∠CDB=90°，
∵∠A+∠AED=90°，
∴∠CDB=∠ABC，
∴△CDB∽△CBA，
∴CD：BC=BC：CA，即a：BC=BC：2a，
∴BC=$\sqrt{2}$a，
在Rt△CDB中，BD=$\sqrt{{a}^{2}+（\sqrt{2}a）^{2}}$=$\sqrt{3}$a，
在Rt△ABC中，AB=$\sqrt{（2a）^{2}+（\sqrt{2}a）^{2}}$=$\sqrt{6}$a，
∴AE=$\frac{\sqrt{6}}{2}$a，
∴OD=$\frac{\sqrt{6}}{4}$a，
在Rt△BOD中，tan∠DBO=$\frac{OD}{BD}$=$\frac{\frac{\sqrt{6}a}{4}}{\sqrt{3}a}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

點評 本題考查了切線的判定：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．當已知條件中明確指出直線與圓有公共點時，常連接過該公共點的半徑，證明該半徑垂直于這條直線．也考查了相似三角形的判定與性質．