Question

12．【材料閱讀】閱讀下列一段文字，然后回答下列問題．
已知平面內兩點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則這兩點間的距離可用下列公式計算：
MN=$\sqrt{{（x}_{1}{-x}_{2}）^{2}+{（y}_{1}{-y}_{2}）^{2}}$．
例如：已知P（3，1）、Q（1，-2），則這兩點間的距離PQ=$\sqrt{（3-1）^{2}+（1+2）^{2}}$=$\sqrt{13}$
【直接應用】
（1）已知A（2，-3）、B（-4，5），試求A、B兩點間的距離；
（2）已知△ABC的頂點坐標分別為A（0，4）、B（-1，2）、C（4，2），你能判定△ABC的形狀嗎？請說明理由．
【深度應用】
（3）如圖，在平面直角坐標系xOy中，二次函數y=x²-4的圖象與x軸相交于兩點A、B，（點A在點B的左邊）
①求點A、B的坐標；
②設點P（m，n）是以點C（3，4）為圓心，1為半徑的圓上一動點，求PA²+PB²的最大值．

Answer 1

分析 （1）依據兩點間的距離公式可求得AB的長；
（2）依據兩點間的距離公式可求得AB、AC、BC的長，然后依據勾股定理的逆定理可對△ABC的形狀作出判斷；
（3）①令y=0得：x²-4=0，解得x=2或x=-2，故此可得到A，B的坐標；②首先依據兩點間的距離公式表示出PA²+PB²的長，通過化簡可得到PA²+PB²=2PO²+8，然后求得OP的最大值，從而可得到問題的答案．

解答 解：（1）AB=$\sqrt{[2-（-4）]^{2}+（-3-5）^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10．

（2）AB²=（-1-0）²+（2-4）²=1+4=5；
AC²=（0-4）²+（4-2）²=16+4=20；BC²=（-1-4）²+（2-2）²=25，
∴BC²=AB²+AC²．
∴△ABC為直角三角形．

（3）①令y=0得：x²-4=0，解得x=2或x=-2，
∴A（-2，0），B（2，0）．
②PA²+PB²=（m+2）²+n²+（m-2）²+n²=2（m²+n²）+8=2PO²+8．
當OP過圓心C時，PO最大，最大值=OC+PC=5+1=6．
因此PA²+PB²最大值為2×6²+8=80．

點評 本題主要考查的是二次函數的綜合、兩點間的距離公式，依據兩點間的距離公式得到PA²+PB²=2PO²+8是解題的關鍵．