Question

7．如圖，在△ABC中，∠B=45°，∠ACB=30°，點D是BC上一點，連接AD，過點A作AG⊥AD，點F在線段AG上，延長DA至點E，使AE=AF，連接EG，CG，DF，若EG=DF，點G在AC的垂直平分線上，則$\frac{AB}{CG}$的值為$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．

Answer 1

分析 過點A作AH⊥BC于點H，過點G作GK⊥BC于K，過點A作AL⊥GK于點L，取AC中點M，連接GM．首先證明Rt△ADF≌Rt△AGE，△ADH≌△AGL≌△AGM，推出∠DAH=∠GAM=∠GAL=∠ACG=15°，設AH=a，則CD=AC=2a，CH=$\sqrt{3}$a，分別用a表示AB、CG即可解決問題．

解答 解：過點A作AH⊥BC于點H，過點G作GK⊥BC于K，過點A作AL⊥GK于點L，取AC中點M，連接GM．
∵AG⊥DE，
∴∠DAF=∠EAG=90°
在Rt△ADF和Rt△AGE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AE}\\{DF=EG}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADF≌Rt△AGE，
∴AD=AG，
∵∠AHK=∠ALK=∠LKH=90°，
∴四邊形AHKL是矩形，
∴∠DAG=∠HAL=90°，
∴∠DAH=∠GAL，∵∠AHD=∠ALG=90°，
∴△ADH≌△AGL，
∴AH=AL，
在Rt△ACH中，∵∠ACH=30°，
∴AH=AL=$\frac{1}{2}$AC=AM，
∵AG=AG，∠ALG=∠AMG=90°，
∴Rt△AGM≌Rt△AGL，
∴∠GAL=∠GAM，
∵AL∥BC，
∴∠CAL=∠ACH=30°，
∴∠GAL=∠GAM=15°，
∴∠DAH=∠GAL=15°，
∴∠CAD=∠CDA=75°，
∴AC=AD，設AH=a，則CD=AC=2a，CH=$\sqrt{3}$a，
∴LG=DH=CD-CH=2a-$\sqrt{3}$a，
∴GK=LK-LG=（$\sqrt{3}$-1）a，
∵GA=GC，
∴∠GAC=∠GCA=15°，
∴∠GCK=45°，
∴CG=$\sqrt{2}$KG=（$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$）a，∵AB=$\sqrt{2}$AH=$\sqrt{2}$a，
∴$\frac{AB}{CG}$=$\frac{\sqrt{2}a}{（\sqrt{6}-\sqrt{2}）a}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．
故答案為$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質、矩形的判定和性質、勾股定理、30度角的直角三角形的性質、等腰直角三角形的性質的等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考�？碱}型．