Question

3．在矩形ABCD中，已知AB=4，BC=3，矩形在直線l上繞其右下角的頂點B向右旋轉90°至圖①位置，再繞右下角的頂點繼續向右旋轉90°至圖②位置，…，以此類推，這樣連續旋轉2017次后，頂點A在整個旋轉過程中所經過的路程之和為3026π．

Answer 1

分析 首先求得每一次轉動的路線的長，發現每4次循環，找到規律然后計算即可．

解答 解：∵AB=4，BC=3，
∴AC=BD=5，
轉動一次A的路線長是：$\frac{90•π•4}{180}$=2π，
轉動第二次的路線長是：$\frac{90•π•5}{180}$=$\frac{5}{2}$π，
轉動第三次的路線長是：$\frac{90•π•3}{180}$=$\frac{3}{2}$π，
轉動第四次的路線長是：0，
以此類推，每四次循環，
故頂點A轉動四次經過的路線長為：$\frac{5}{2}$π+$\frac{3}{2}$π+2π=6π，
∵2017÷4=504…1，
∴頂點A轉動四次經過的路線長為：6π×504+2π=3026π，
故答案為：3026π．

點評 本題主要考查了探索規律問題和弧長公式的運用，掌握旋轉變換的性質、靈活運用弧長的計算公式、發現規律是解決問題的關鍵．