Question

8．為了節省材料，某水產養殖戶利用水庫的一角∠MON（∠MON=135°）的兩邊為邊，用總長為120m的圍網在水庫中圍成了如圖所示的①②③三塊區域，其中區域①為直角三角形，區域②③為矩形，而且四邊形OBDG為直角梯形．
（1）若①②③這塊區域的面積相等，則OB的長度為20m；
（2）設OB=x，四邊形OBDG的面積為ym²，
①求y與x之的函數關系式，并注明自變量x的取值范圍；
②設①②③這三塊區域的面積分別為S₁、S₂、S₃，若S₁：S₂：S₃=3：2：1，求GE：ED：DC的值．

Answer 1

分析 （1）首先證明EG=EO=DB，DE=FC=OB，設OB=CF=DE=x，則GE=OE=BD=$\frac{1}{3}$（120-3x）=40-x，由①②③這塊區域的面積相等，得到$\frac{1}{2}$（40-x）²=$\frac{1}{2}$•x（40-x），解方程即可．
（2）①根據直角梯形的面積公式計算即可．②由S₁：S₂：S₃=3：2：1，肯定$\frac{1}{2}$（40-x）²=$\frac{1}{2}$（-$\frac{1}{2}$x²+800），推出x=$\frac{40}{3}$或40（舍棄），求得EG=40-$\frac{40}{3}$=$\frac{80}{3}$，ED=$\frac{40}{3}$，DC=$\frac{2}{3}$EG=$\frac{160}{9}$，由此即可解決問題．

解答 解：（1）由題意可知，∠MON=135°，∠EOB=∠D=∠DBO=90°，
∴∠EGO=∠EOG=45°，
∴EG=EO=DB，DE=FC=OB，設OB=CF=DE=x，則GE=OE=BD=$\frac{1}{3}$（120-3x）=40-x，
∵①②③這塊區域的面積相等，
∴$\frac{1}{2}$（40-x）²=$\frac{1}{2}$•x（40-x），
∴x=20或40（舍棄），
∴BC=20m．
故答案為20．

（2）①y=$\frac{x+x+40-x}{2}$•（40-x）=-$\frac{1}{2}$x²+800（0＜x＜40）．
②∵S₁：S₂：S₃=3：2：1，
∴$\frac{1}{2}$（40-x）²=$\frac{1}{2}$（-$\frac{1}{2}$x²+800），
∴x=$\frac{40}{3}$或40（舍棄），
∴EG=40-$\frac{40}{3}$=$\frac{80}{3}$，ED=$\frac{40}{3}$，DC=$\frac{2}{3}$EG=$\frac{160}{9}$，
∴EG：DE：DC=$\frac{80}{3}$：$\frac{40}{3}$：$\frac{160}{9}$=6：3：4．

點評 本題考查一元二次方程的應用、三角形的面積公式、矩形的性質、直角梯形的性質等知識，解題的關鍵是學會利用參數構建方程解決問題，屬于中考常考題型．