Question

9．已知：如圖，△ABC中，AC=8，點D在AB邊上，且AD=BD=CD=5，在△ABC外，作等邊△ACE．
（1）判斷△ABC的形狀，并證明；
（2）求四邊形ABCE的周長．

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的性質和三角形內角和定理即可得出結論；
（2）由勾股定理求出BC，再由等邊三角形的性質即可得出結果．

解答 解：（1）結論：△ABC的是直角三角形；
∵AD=BD=CD，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，…（2分）
∴∠1+∠4=∠2+∠3，
又∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴∠2+∠3=90°，
∴△ABC是直角三角形．
（2）在直角三角形△ABC中，AC=8，AB=10，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=6，
又∵△ACE是等邊三角形．
∴AE=CE=8，
∴四邊形ABCE的周長為AB+BC+AE+CE=32．

點評 本題考查了等邊三角形的性質、等腰三角形的性質、三角形內角和定理、勾股定理；熟練掌握等邊三角形的性質和等腰三角形的性質是解決問題的關鍵．