Question

16．如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，點E為AD中點，點F為BC邊上任一點，過點F別作EB，EC的垂線，垂足分別為點G，H，則FG+FH為$\frac{3}{5}\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 連接EF，由矩形的性質得出AB=CD=3，AD=BC=2，∠A=∠D=90°，由勾股定理求出BE，由SAS證明△ABE≌△DCE，得出BE=CE=$\sqrt{10}$，再由△BCE的面積=△BEF的面積+△CEF的面積，即可得出結果．

解答 解：連接EF，如圖所示，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD=3，AD=BC=2，∠A=∠D=90°，
∵點E為AD中點，
∴AE=DE=1，
∴BE=$\sqrt{A{E}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
在△ABE和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=DE}\\{∠A=∠D}\\{AB=DC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴BE=CE=$\sqrt{10}$，
∵△BCE的面積=△BEF的面積+△CEF的面積，
∴$\frac{1}{2}$BC×AB=$\frac{1}{2}$BE×FG+$\frac{1}{2}$CE×FH，
即BE（FG+FH）=BC×AB，
即$\sqrt{10}$（FG+FH）=2×3，
解得FG+FH=$\frac{3}{5}\sqrt{10}$．
故答案為：$\frac{3}{5}\sqrt{10}$．

點評 本題考查了矩形的性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理、三角形面積的計算；熟練掌握面積法，證明三角形全等是解決問題的關鍵．