Question

4．為了響應國家“自主創業”的號召，某大學畢業生開辦了一個裝飾品商店，采購了一種今年剛上市的飾品進行了30天的試銷，購進價格為20元/件，銷售結束后，得知日銷售量P（件）與銷售時間x（天）之間的關系如圖（1）所示，銷售價格Q（元/件）與銷售時間x（天）之間的關系如圖（2）所示．

（1）根據圖象直接寫出：日銷售量P（件）與銷售時間x（天）之間的函數關系式為P=-2x+80；銷售單價
Q（元/件）與銷售時間x（天）的函數關系式為Q=$\frac{1}{2}$x+30．（不要求寫出自變量的取值范圍）
（2）寫出該商品的日銷售利潤W（元）和銷售時間x（天）之間的函數關系式；（不要求寫出自變量的取值范圍）
（3）請問在30天的試銷售中，哪一天的日銷售利潤最大？并求出這個最大利潤．

Answer 1

分析 （1）設P=kx+80，將（30，20）代入可求出k的值，得出日銷售量P（件）與銷售時間x（天）之間的函數關系式；設Q=mx+30，將（30，45）代入可求出m的值，得出Q（元/件）與銷售時間x（天）的函數關系式；
（2）根據銷售問題中的基本等量關系：銷售利潤=日銷售量×（一件的銷售價-一件的進價），建立函數關系式；
（3）將（2）中函數關系式配方可得其頂點式，結合自變量x的范圍，根據二次函數的性質可得函數的最值情況．

解答 解：（1）設P=kx+80，將（30，20）代入，
得20=30k+80，解得k=-2，
所以日銷售量P（件）與銷售時間x（天）之間的函數關系式為P=-2x+80；
設Q=mx+30，將（30，45）代入，
得45=30m+30，解得m=$\frac{1}{2}$，
所以Q（元/件）與銷售時間x（天）的函數關系式為Q=$\frac{1}{2}$x+30．
故答案為P=-2x+80，Q=$\frac{1}{2}$x+30；

（2）根據題意，得W=P（Q-20）=（-2x+80）[（$\frac{1}{2}$x+30）-20]=-x²+20x+800（1≤x≤30，且x為正整數），
即W=-x²+20x+800；

（3）∵w=-x²+20x+800=-（x-10）²+900，
∴當x=10時，W取最大值為900．
∴在30天的試銷中，第10天的日銷售利潤最大，最大利潤為900元．

點評 此題考查了二次函數的應用，待定系數法求一次函數的解析式，根據營銷問題中的基本等量關系建立函數關系式是解題關鍵．