Question

13．閱讀與應用：閱讀1：a、b為實數，且a＞0，b＞0，因為（$\sqrt{a}$-$\sqrt{b}$）²≥0，所以a-2$\sqrt{ab}$+b≥0，從而a+b≥2$\sqrt{ab}$（當a=b時取等號）．
閱讀2：函數y=x+$\frac{m}{x}$（常數m＞0，x＞0），由閱讀1結論可知：x+$\frac{m}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{m}{x}}$=2$\sqrt{m}$，所以當x=$\frac{m}{x}$即x=$\sqrt{m}$時，函數y=x+$\frac{m}{x}$的最小值為2$\sqrt{m}$．
閱讀理解上述內容，解答下列問題：
問題1：已知一個矩形的面積為4，其中一邊長為x，則另一邊長為$\frac{4}{x}$，周長為2（x+$\frac{4}{x}$），求當x=2時，周長的最小值為8．
問題2：已知函數y₁=x+1（x＞-1）與函數y₂=x²+2x+17（x＞-1），
當x=3時，$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}$的最小值為8．
問題3：某民辦學習每天的支出總費用包含以下三個部分：一是教職工工資6400元；二是學生生活費每人10元；三是其他費用．其中，其他費用與學生人數的平方成正比，比例系數為0.01．當學校學生人數為多少時，該校每天生均投入最低？最低費用是多少元？（生均投入=支出總費用÷學生人數）

Answer 1

分析 問題1：利用題中的不等式得到x+$\frac{4}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{4}{x}}$=4，從而得到x=2時，周長的最小值為8；
問題2：先變形得到$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}$=$\frac{（x+1）^{2}+16}{x+1}$=x+1+$\frac{16}{x+1}$，然后利用題中的不等式性質解決問題；
問題3：設學校學生人數為x人，生均投入為y元，依題意得y=$\frac{6400+10x+0.01{x}^{2}}{x}$，變形得到y=$\frac{x}{100}$+$\frac{6400}{x}$+10，然后利用不等式的性質求解．

解答 解：問題1：∵x+$\frac{4}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{4}{x}}$=4，當x=$\frac{4}{x}$時，2（x+$\frac{4}{x}$）有最小值8，
即x=2時，周長的最小值為8；

問題2：$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}$=$\frac{（x+1）^{2}+16}{x+1}$=x+1+$\frac{16}{x+1}$，
∵x+1+$\frac{16}{x+1}$≥2$\sqrt{（x+1）•\frac{16}{x+1}}$=8，即x+1=$\frac{16}{x+1}$時，$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}$有最小值，即x=3時，$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}$的最小值為8；
故答案為2，8；3，8；

問題3：設學校學生人數為x人，生均投入為y元，依題意得：
y=$\frac{6400+10x+0.01{x}^{2}}{x}$=$\frac{x}{100}$+$\frac{6400}{x}$+10，
∵x＞0，
∴y=$\frac{x}{100}$+$\frac{6400}{x}$+10=$\frac{1}{100}$（x+$\frac{640000}{x}$）+10≥$\frac{2}{100}$$\sqrt{640000}$+10=16+10，
∴當x=$\frac{640000}{x}$，即x=800時，即x=800時，y取最小值26．
答：當學校學生人數為800人時，該校每天生均投入最低，最低費用是26元．

點評 本題考查了二次函數的應用：幾何圖形中的二次函數問題常見的有：幾何圖形中面積的最值，用料的最佳方案以及動態幾何中的最值的討論．也考查了閱讀理解能力．