Question

8．如圖，把長方形紙片ABCD紙沿對角線折疊，設重疊部分為△EBD，那么，有下列說法：
①△EBD是等腰三角形，EB=ED；
②折疊后∠ABE和∠CBD和一定相等；
③折疊后得到的圖形是軸對稱圖形；
④若AB=4，AD=8，則AE=3．
其中正確的是①③④．（請寫上正確的序號）

Answer 1

分析 根據軸對稱的性質可以得出DC=DC′，BC′=BC，∠DBC=∠DBC′，再由矩形的性質就可以得出∠EBD=∠EDB，就可以得出BE=DE，得出△EBD是等腰三角形，進而可以由AAS證明△EBA≌△EDC，可得BE=DE，根據勾股定理可求AE，就可以得出折疊后的圖形關于BD的中垂線對稱，從而得出結論．

解答 解：如圖，∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，∠A=C=90°，AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD．
∵△DBC與△DBC′關于BD對稱，
∴△DBC≌△DBC′，
∴DC=DC′，BC′=BC，∠DBC=∠DBC′，∠C=∠C′．
∴AB=C′D，∠A=∠C′．∠EBD=∠EDB，
∴BE=DE，
∴△EBD是等腰三角形．故①正確．
在△AEB和△C′ED中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠C′}\\{∠AEB=∠C′ED}\\{AB=C′D}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△C′ED（AAS），
∴BE=DE，
在Rt△BAE中，AE²+AB²=BE²，即AE²+4²=（8-AE）²，
解得AE=3，．故④正確，
∴折疊后得到的圖形是軸對稱圖形，故③正確．
∵∠DBC=∠DBC′，
∴∠ABE和∠CBD不一定相等．故②錯誤．
故答案為：①③④．

點評 此題考查了矩形的性質的運用，軸對稱的性質的運用，等腰三角形的判定及性質的運用，全等三角形的判定與性質的運用，勾股定理的運用，解答時運用軸對稱的性質求解是關鍵．