Question

6．如圖，直線L：y=-$\frac{1}{2}$x+2與x軸、y軸分別交于A、B兩點，在y軸上有一點N（0，4），動點M從A點以每秒1個單位的速度勻速沿x軸向左移動．
（1）點A的坐標：（4，0）；點B的坐標：（0，2）；
（2）求△NOM的面積S與M的移動時間t之間的函數關系式；
（3）在y軸右邊，當t為何值時，△NOM≌△AOB，求出此時點M的坐標；
（4）在（3）的條件下，若點G是線段ON上一點，連結MG，△MGN沿MG折疊，點N恰好落在x軸上的點H處，求點G的坐標．

Answer 1

分析 （1）在y=-$\frac{1}{2}$x+2中，令別令y=0和x=0，則可求得A、B的坐標；
（2）利用t可表示出OM，則可表示出S，注意分M在y軸右側和左側兩種情況；
（3）由全等三角形的性質可得OM=OB=2，則可求得M點的坐標；
（4）由折疊的性質可知MG平分∠OMN，利用角平分線的性質定理可得到$\frac{OG}{NG}$=$\frac{OM}{MN}$，則可求得OG的長，可求得G點坐標．

解答 解：
（1）在y=-$\frac{1}{2}$x+2中，令y=0可求得x=4，令x=0可求得y=2，
∴A（4，0），B（0，2），
故答案為：（4，0）；（0，2）；
（2）由題題意可知AM=t，
①當點M在y軸右邊時，OM=OA-AM=4-t，
∵N（0，4），
∴ON=4，
∴S=$\frac{1}{2}$OM•ON=$\frac{1}{2}$×4×（4-t）=8-2t；
②當點M在y軸左邊時，則OM=AM-OA=t-4，
∴S=$\frac{1}{2}$×4×（t-4）=2t-8；
（3）∵△NOM≌△AOB，
∴MO=OB=2，
∴M（2，0）；
（4）∵OM=2，ON=4，
∴MN=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵△MGN沿MG折疊，
∴∠NMG=∠OMG，
∴$\frac{OG}{NG}$=$\frac{OM}{MN}$，且NG=ON-OG，
∴$\frac{OG}{4-OG}$=$\frac{2}{2\sqrt{5}}$，解得OG=$\sqrt{5}$-1，
∴G（0，$\sqrt{5}$-1）．

點評 本題為一次函數的綜合應用，涉及函數與坐標軸的交點、三角形的面積、全等三角形的性質、角平分線的性質定理及分類討論思想等知識．在（1）中注意求函數圖象與坐標軸交點的方法，在（2）中注意分兩種情況，在（3）中注意全等三角形的對應邊相等，在（4）中利用角平分線的性質定理求得關于OG的等式是解題的關鍵．本題考查知識點較多，綜合性很強，但難度不大．