Question

8．如圖，在△BDE中，∠BDE=90°，BD=3$\sqrt{2}$，點D的坐標是（5，0），∠BDO=15°，將△BDE旋轉得到△ABC的位置，點C在BD上，則過A、B、D三點圓的圓心坐標為（$\frac{7}{2}$，$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 作線段AB與BD的垂直平分線，它們的交點即為過A、B、D三點圓的圓心P，連接PD、PB、PE，過P作PF⊥x軸于F，利用旋轉的性質得BC=DE，PB=PD，PE=PC，則可證明△PBC≌△PDE，所以∠PBC=∠PDE，易得∠PDB=∠PDE=$\frac{1}{2}$∠BDE=45°，于是可判斷△PBD為等腰直角三角形，則PD=BD=3，然后在Rt△PDF中利用含30度的直角三角形三邊的關系計算出DF和PF，從而可確定P點坐標．

解答 解：作線段AB與BD的垂直平分線，它們的交點即為過A、B、D三點圓的圓心P，連接PD、PB、PE，過P作PF⊥x軸于F，
∵△BDE旋轉得到△ABC的位置，點C在BD上，
∴BC=DE，PB=PD，PE=PC，
在△PBC和PDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{PB=PD}\\{BC=DE}\\{PC=PE}\end{array}\right.$，
∴△PBC≌△PDE，
∴∠PBC=∠PDE，
而PB=PD，
∴∠PBD=∠PDB，
∴∠PDB=∠PDE=$\frac{1}{2}$∠BDE=45°，
∴△PBD為等腰直角三角形，
∴PD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD=3，
∵∠BDO=15°，
∴∠PDO=45°+15°=60°，
∴∠DPF=30°，
∴DF=$\frac{1}{2}$PD=$\frac{1}{2}$×3=$\frac{3}{2}$，PF=$\sqrt{3}$DF=$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$，
∵點D的坐標是（5，0），
∴OF=OD-DF=5-$\frac{3}{2}$=$\frac{7}{2}$，
∴P點坐標為（$\frac{7}{2}$，$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$），
故答案為：（$\frac{7}{2}$，$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$）．

點評 本題考查了三角形的外接圓與外心：經過三角形的三個頂點的圓，叫做三角形的外接圓．三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心．解決本題的關鍵是證明△PBD為等腰直角三角形．