Question

4．研究幾何圖形，我們往往先給出這類圖形的定義，再研究它的性質和判定方法．
我們給出如下定義：
如圖，四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD像這樣兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”；
小文根據學習幾何圖形的經驗，通過觀察、實驗、歸納、類比、猜想、證明等方法，對AB≠BC的“箏形”的性質和判定方法進行了探究．下面是小文探究的過程，請補充完成：
（1）他首先發現了這類“箏形”有一組對角相等，并進行了證明，請你完成小文的證明過程．
已知：如圖，在”箏形”ABCD中，AB=AD，CB=CD．求證：∠ABC=∠ADC．
（2）小文由（1）得到了這類“箏形”角的性質，他進一步探究發現這類“箏形”還具有其它性質，請再寫出這類“箏形”的一條性質（除“箏形”的定義外）“箏形”有一條對角線平分一組對角或“箏形”是軸對稱圖形
（3）繼性質探究后，小文探究了這類“箏形”的判定方法，寫出這類“箏形”的一條判定方法（除“箏形”的定義外）：有一條對角線垂直平分另一條對角線的四邊形是箏形．

Answer 1

分析 （1）連結BD，只要證明△ABD≌△△BCD即可．
（2）“箏形”有一條對角線平分一組對角或“箏形”是軸對稱圖形．連接AC，只要證明△ACB≌△ACD（SSS），即可解決問題．
（3）有一條對角線垂直平分另一條對角線的四邊形是箏形．根據線段的垂直平分線的性質定理即可證明．

解答 證明：（1）連結BD，在△ABD和△BCD中，

∵AB=AD，BC=CD
∴∠ABD=∠ADB
∠DBC=∠BDC
∴∠ABC=∠ADC．
（2）“箏形”有一條對角線平分一組對角或“箏形”是軸對稱圖形．
理由：連接AC．

在△ACB和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AC}\\{AB=AD}\\{BC=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACB≌△ACD（SSS），
∴∠CAB=∠CAD，∠ACB=∠ACD．
∴“箏形”有一條對角線平分一組對角或“箏形”是軸對稱圖形
故答案為“箏形”有一條對角線平分一組對角或“箏形”是軸對稱圖形．

（3）有一條對角線垂直平分另一條對角線的四邊形是箏形．
理由：如圖，

∵AC⊥BD，BO=OD
∴AB=AD，CB=CD，
∴四邊形ABCD是“箏形”．
故答案為有一條對角線垂直平分另一條對角線的四邊形是箏形．

點評 本題考查四邊形綜合題、等腰三角形的性質、全等三角形的判定和性質，線段的垂直平分線的性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會添加常用輔助線，屬于中考創新題目．