Question

7．四邊形ABCD的對角線交于點E，有AE=EC，BE=ED，以AB為直徑的⊙O過點E．
（1）求證：四邊形ABCD的是菱形；
（2）若CD的延長線與圓相切于點F，已知直徑AB=4，求陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）根據平行四邊形的判定得出四邊形ABCD是平行四邊形，再根據菱形的判定得出即可；
（2）連接OF，過D作DH⊥AB于H，分別求出扇形BOE、△AOE、半圓O的面積，即可得出答案．

解答 （1）證明：
∵AE=CE，BE=ED，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵AB為直徑，
∴∠AEB=90°，
即AC⊥BD，
∴四邊形ABCD是菱形；

（2）解：連接OF，
∵CF為⊙O的切線，
∴∠OFC=90°，
∵AB=4，
∴OA=OB=2，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=AD=4，
過D作DH⊥AB于H，

則DH=OF=2，
∠DAH=30°，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠DAC=∠BAC=15°，
∴∠BOE=2∠BAC=30°，
∴S_扇形BOE=$\frac{30π×{2}^{2}}{360}$=$\frac{π}{3}$，S_△AOE=$\frac{1}{2}×2×1$=1，
∴S_陰影=S_半圓O-S_△AOE-S_扇形BOE=$\frac{1}{2}×π×{2}^{2}$-1-$\frac{π}{3}$=$\frac{5}{3}$π-1．

點評 本題考查了扇形的面積，平行四邊形的判定，菱形的判定和性質等知識點，能綜合運用性質進行推理和計算是解此題的關鍵．