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19.如圖,點C是以AB為直徑的⊙O上一點,CD是⊙O切線,D在AB的延長線上,作AE⊥CD于E.
(1)求證:AC平分∠BAE;
(2)若AC=2CE=6,求⊙O的半徑;
(3)請探索:線段AD,BD,CD之間有何數量關系?請證明你的結論.

分析 (1)連接OC,由CD是⊙O切線,得到OC⊥CD,根據平行線的性質得到∠EAC=∠ACO,有等腰三角形的性質得到∠CAO=∠ACO,于是得到結論;
(2)連接BC,由三角函數的定義得到sin∠CAE=$\frac{CE}{AC}$=$\frac{1}{2}$,得到∠CAE=30°,于是得到∠CAB=∠CAE=30°,由AB是⊙O的直徑,得到∠ACB=90°,解直角三角形即可得到結論;
(3)根據余角的性質得到∠DCB=∠ACO根據相似三角形的性質得到結論.

解答 (1)證明:連接OC,
∵CD是⊙O切線,
∴OC⊥CD,
∵AE⊥CD,
∴OC∥AE,
∴∠EAC=∠ACO,
∵OA=OC,
∴∠CAO=∠ACO,
∴∠EAC=∠A=CAO,
即AC平分∠BAE;

(2)解:連接BC,
∵AE⊥CE,AC=2CE=6,
∴sin∠CAE=$\frac{CE}{AC}$=$\frac{1}{2}$,
∴∠CAE=30°,
∴∠CAB=∠CAE=30°,
∵AB是⊙O的直徑,
∴∠ACB=90°,
∴cos∠CAB=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∴AB=4$\sqrt{3}$,
∴⊙O的半徑是2$\sqrt{3}$;

(3)CD2=BD•AD,
證明:∵∠DCB+∠BCO=90°,∠ACO+∠BCO=90°,
∴∠DCB=∠ACO,
∴∠DCB=∠ACO=∠CAD,
∵∠D=∠D,
∴△BCD∽△CAD,
∴$\frac{BD}{CD}=\frac{CD}{AD}$,
即CD2=BD•AD.

點評 本題考查了切線的性質,三角函數的定義,余角的性質,相似三角形的判定和性質,正確的作出輔助線是解題的關鍵.

練習冊系列答案
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