Question

16．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD平分∠BAC交⊙O于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE∥BC交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．
（1）試判斷DE與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）若∠E=60°，⊙O的半徑為5，求AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）利用垂徑定理的推論結(jié)合平行線的性質(zhì)得出∠EDO=90°，進(jìn)而得出答案；
（2）結(jié)合已知利用圓周角定理以及勾股定理得出AB的長(zhǎng)．

解答 解：（1）DE與⊙O相切，
理由：連接DO并延長(zhǎng)到圓上一點(diǎn)N，交BC于點(diǎn)F，
∵AD平分∠BAC交⊙O于點(diǎn)D，
∴∠BAD=∠DAC，
∴$\widehat{BD}$=$\widehat{DC}$，
∴DO⊥BC，
∵DE∥BC，
∴∠EDO=90°，
∴DE與⊙O相切；

（2）連接AO并延長(zhǎng)到圓上一點(diǎn)M，連接BM，
∵BC∥DE，
∴∠ACB=∠E=60°，
∴∠M=60°，
∵⊙O的半徑為5，
∴AM=10，
∴BM=5，則AB=$\sqrt{1{0}^{2}-{5}^{2}}$=5$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了切線的判定以及勾股定理、垂徑定理推論等知識(shí)，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．