Question

5．在直角三角形ACB中，∠C=90°，AB=4，AC=2，現(xiàn)操作如下：過點C作CP₁⊥AB于點P₁，得到Rt△CP₁B，過點P₁作P₁P₂⊥CB于點P₂，得到Rt△P₁P₂B，按照相同的方法一直操作下去，則P₁P₂=$\frac{3}{2}$；P_nP_n+1=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）ⁿ•$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 在Rt△ABC中根據(jù)三角函數(shù)求得∠B=30°，∠A=60°，再利用三角函數(shù)分別求出P₁P₂、P₂P₃，可得出規(guī)律，從而可得答案．

解答 解：在Rt△ABC中，∵AB=4，AC=2，
∴sinB=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠B=30°，∠A=60°，
∵CP₁⊥AB，
∴CP₁=ACsinA=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，∠ACP=30°，
∵P₁P₂⊥CB，
∴P₁P₂∥AC，
∴∠CP₁P₂=∠ACP=30°，
∴P₁P₂=CP₁cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\sqrt{3}$=$\frac{3}{2}$，
∵P₂P₃⊥AB，
∴CP₁∥P₂P₃，
∴∠CP₁P₂=∠P₁P₂P₃=30°，
∴P₂P₃=P₁P₂cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²•$\sqrt{3}$，
…
∴P_nP_n+1=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）ⁿ•$\sqrt{3}$，
故答案為：$\frac{3}{2}$，（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）ⁿ•$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查三角函數(shù)及數(shù)字的變化規(guī)律，熟練掌握三角函數(shù)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．