Question

5．拋物線y=ax²+bx+c滿足下列條件：（1）4a-b=0； （2）a-b+c＞0；（3）與x軸有兩個交點，且兩交點的距離小于2．以下有四個結論：①a＜0；②c＞0；③ac=$\frac{1}{4}$b²；④$\frac{c}{4}$＜a＜$\frac{c}{3}$．則其中正確結論的序號是②④．

Answer 1

分析 先確定拋物線的對稱軸為直線x=-$\frac{b}{2a}$=-2，由于拋物線與x軸有兩個交點，且兩交點的距離小于2，x=-1時，a-b+c＞0，則可判斷拋物線與x軸的一個交點在（-1，0）和（0，0）之間，所以拋物線的開口向上，拋物線與y軸的交點在x軸上方，則可對①②進行判斷；利用兩交點的距離小于2得到$\frac{\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{a}$＜2，則可得到a＜$\frac{c}{3}$，則可對④進行判斷．

解答 解：∵b=4a，
∴拋物線的對稱軸為直線x=-$\frac{b}{2a}$=-2，
而拋物線與x軸有兩個交點，且兩交點的距離小于2，
x=-1時，a-b+c＞0，
∴拋物線的開口向上，拋物線與y軸的交點在x軸上方，
∴a＞0，c＞0，所以①錯誤，②正確；
∵拋物線與x軸有兩個交點，
∴△=b²-4ac＞0，所以③錯誤；
而b=4a，
∴16a²-4ac＞0，
∴a＞$\frac{c}{4}$，
∵$\frac{\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{a}$＜2，
∴b²-4ac＜4a²，
即16a²-4ac＜4a²，
∴a＜$\frac{c}{3}$所以④正確．
故答案為②④．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點：對于二次函數y=ax²+bx+c（a，b，c是常數，a≠0），△=b²-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b²-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．也考查了二次函數圖象與系數的關系．