Question

2．如圖1，已知拋物線y=ax²+bx+2的圖象經過點A（-1，0），B（4，0）兩點，與y軸交于點C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點Q（m，m-1）是拋物線上位于第一象限內的點，P是線段AB上的一個動點（不與A、B重合），經過點P分別作PD∥BQ交AQ于點D，PE∥AQ交BQ于點E．
①判斷四邊形PDQE的形狀；并說明理由；
②連接DE，求出線段DE的長度范圍；
③如圖2，在拋物線上是否存在一點F，使得以P、F、A、C為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點F和點P坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數法求二次函數的解析式；
（2）①作輔助線QH，利用勾股定理的逆定理求出∠AQB=90°，再根據兩組對邊分別平行可知：四邊形PDQE是矩形；
②根據矩形的對角線相等得：PQ=DE，即PQ的范圍就是DE的范圍，當P與H重合時最小，當P與A重合時最大，由此得出線段DE的長度范圍；
③有兩種情況：一種：以AP為邊的平行四邊形APFC，如圖3，得出P和F的坐標；
另一種：以AP為對角線的平行四邊形AFPC，利用點C的坐標和拋物線的解析式求出點F的坐標，并相應求出點P的坐標．

解答 解：（1）把點A（-1，0），B（4，0）代入拋物線y=ax²+bx+2中得：
$\left\{\begin{array}{l}{a-b+2=0}\\{16a+4b+2=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為：y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2；
（2）①四邊形PDQE是矩形，理由是：
如圖1，過Q作QH⊥AB于H，
把Q（m，m-1）代入y=-$\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{3}{2}$x+2中得：
m-1=-$\frac{1}{2}{m}^{2}$+$\frac{3}{2}$m=2，
m²-m-6=0，
（m-3）（m+2）=0，
m₁=3，m₂=-2，
∵Q是第一象限上的點，
∴m＞0，
∴m=-2不符合題意，舍去，
∴Q（3，2），
∵A（-1，0），B（4，0），
∴AH=4，QH=2，BH=1，
∴AQ=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，BQ=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
AB=5，
∴AB²=AQ²+BQ²，
∴∠AQB=90°，
∵PD∥BQ，PE∥AQ，
∴四邊形PDQE是矩形；
②如圖2，連接PQ，
∵四邊形PDQE是矩形，
∴PQ=DE，
當PQ⊥AB時，PQ最小，即DE最小，
此時PQ=2，即DE=2，
當點P在A時PQ最大，即PQ=AQ=2$\sqrt{5}$，
∴線段DE的長度范圍是：2≤DE＜2$\sqrt{5}$；
③當以AP為邊時，如圖3，則它的對邊為CF，
∵四邊形APFC是平行四邊形，
∴AP∥CF，
∴點C和點F的縱坐標相等為2，
∴F（3，2），
∴AP=CF=3，
∴P（2，0），
當以AP為對角線時，如圖4，
可得F的縱坐標與點C的縱坐標互為相反數，即是-2，
當y=-2時，代入拋物線的解析式為：-2=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+$\frac{3}{2}x$+2，
x=$\frac{3±\sqrt{11}}{2}$，
∵點F在第三象限，
∴F（$\frac{3-\sqrt{41}}{2}$，-2），
過F作FM⊥AB于M，則△PCO≌△AFM，
∴OP=AM，
∴OP=$\frac{\sqrt{41}-3}{2}$-1=$\frac{\sqrt{41}-5}{2}$，
則此時點P的坐標為（$\frac{5-\sqrt{41}}{2}$，0），
綜上所述，F（3，2），P（2，0）或點F（$\frac{3-\sqrt{41}}{2}$，-2），點P（$\frac{5-\sqrt{41}}{2}$，0）．

點評 本題是二次函數的綜合題，解題時，涉及到了待定系數法求二次函數解析式，平行四邊形的性質，勾股定理的逆定理等知識點，綜合性比較強，需要學生系統的掌握知識．