Question

20．如圖，P是正方形ABCD內的一點，AP=1，PB=$\sqrt{2}$，∠APB=135°，求PC的長．

Answer 1

分析 作輔助線，構建直角三角形，先證明△BPM是等腰直角三角形，利用勾股定理求出PM=2，再證明△APM是直角三角形，利用勾股定理求出AM的長，由旋轉得：PC=AM=$\sqrt{5}$．

解答 解：把△BPC繞點B逆時針旋轉90°得到△BMA，點C的對應點與A重合，連接PM，
由旋轉得：PB=BM=$\sqrt{2}$，∠PBM=90°，PC=AM，
∴∠BPM=45°，
由勾股定理得：PM=$\sqrt{B{M}^{2}+P{B}^{2}}$=$\sqrt{2+2}$=2，
∵∠APB=135°，
∴∠APM=135°-45°=90°，
在Rt△APM中，AP=1，
由勾股定理得：AM=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴PC=AM=$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了正方形的性質、等腰直角三角形、勾股定理，解答此題的關鍵是利用旋轉構建直角三角形，由勾股定理求解．