Question

19．如圖，反比例函數y=$\frac{3}{x}$的圖象與一次函數y=x+2的圖象交于A、B兩點．
（1）當x取何值時，反比例函數的值小于一次函數的值．
（2）在雙曲線上找一點C，使∠BAC為直角，求點C的坐標．

Answer 1

分析 （1）由于反比例函數的值小于一次函數的值，故反比例函數需要在一次函數的圖象的下方，根據圖象即可求出x的范圍；
（2）過點A作AC⊥AB交雙曲線于點C，交y軸于點D，過點A作AE⊥y軸于點E，根據條件求出直線AC的解析式，然后聯立直線AC與雙曲線即可求出點C的坐標

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{y=\frac{3}{x}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=-1}\end{array}\right.$
解得A（1，3），B（-3，-1）
當反比例函數的值小于一次函數的值-3＜x＜0或x＞1；
（2）過點A作AC⊥AB交雙曲線于點C，交y軸于點D，
過點A作AE⊥y軸于點E，
令x=0代入y=x+2，
∴y=2，
∴G（0，2）
令y=0代入y=x+2，
∴x=-2，
∴F（-2，0）
∴OF=OG
∴∠GFO=45°，
∴∠AGE=45°，
∴△DAG是等腰直角三角形，
∵A（1，3）
∴OE=3，AE=1，
∴AE=DE=1，
∴OD=OE+DE=4，
∴D（0，4）
設直線AC的解析式為y=mx+n，
把（0，4）和（1，3）代入y=mx+n
∴$\left\{\begin{array}{l}{4=n}\\{3=m+n}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=4}\end{array}\right.$
∴y=-x+4，
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+4}\\{y=\frac{3}{x}}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$
∴點C（3，1）．

點評 本題考查反比例函數的綜合問題，解題的關鍵是聯立兩函數的解析式求出交點坐標，本題屬于中等題型．