Question

14．在△ABC中，sinA=$\frac{1}{2}$，AB=8，BC=6，則AC=$2\sqrt{5}+4\sqrt{3}或4\sqrt{3}-2\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 分∠C為銳角和∠C為鈍角兩種情況，先在Rt△ABD中，求得BD=ABsinA=4、AD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，再在Rt△BCD中，求得CD=$\sqrt{B{C}^{2}-B{D}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，結(jié)合圖象可得答案．

解答 解：①當(dāng)∠C為銳角時，如圖1，

過點B作BD⊥AC于點D，
在Rt△ABD中，∵BD=ABsinA=8×$\frac{1}{2}$=4，
∴AD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
在Rt△BCD中，∵CD=$\sqrt{B{C}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴AC=AD+CD=4$\sqrt{3}+$2$\sqrt{5}$；
②當(dāng)∠C為鈍角時，如圖2，

過點B作BD⊥AC，交AC延長線于點D，
此時AC=AD-CD=4$\sqrt{3}$-2$\sqrt{5}$，
故答案為：$2\sqrt{5}+4\sqrt{3}或4\sqrt{3}-2\sqrt{5}$．

點評 本題主要考查解直角三角形，熟練掌握三角函數(shù)的定義與勾股定理及分類討論思想是解題的關(guān)鍵．