Question

20．設x₁，x₂是關于x的方程x²-4x+k+1=0的兩個實數根，是否存在實數k，使得x₁x₂＞x₁+x₂成立？請說明理由．

Answer 1

分析 根據方程有實數根結合根的判別式即可得出關于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范圍，再根據根與系數的關系結合x₁x₂＞x₁+x₂，即可得出關于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范圍，由兩個k的范圍無交集即可得出不存在實數k使得x₁x₂＞x₁+x₂成立．

解答 解：不存在，理由如下：
∵方程x²-4x+k+1=0有實數根，
∴△=（-4）²-4（k+1）=12-4k≥0，
∴k≤3．
∵x₁，x₂是關于x的方程x²-4x+k+1=0的兩個實數根，
∴x₁+x₂=4，x₁x₂=k+1，
∵x₁x₂＞x₁+x₂，
∴k+1＞4，
解得：k＞3．
∴不存在實數k使得x₁x₂＞x₁+x₂成立．

點評 本題考查了根的判別式以及根與系數的關系，根據根的判別式以及根與系數的關系分別求出k的取值范圍是解題的關鍵．