Question

11．在平面直角坐標系中，點A（0，6），B（8，0），AB=10，如圖作∠DBO=∠ABO，∠CAy=∠BAO，直線CD過點O．
（1）寫出線段AC、BD的關系；
（2）動點P從A出發，沿A-O-B路線運動，速度為1，到B點處停止；動點Q從B出發，沿B-O-A運動，速度為2，到A點處停止．二者同時開始運動，都要到達相應的終點才能停止．在某時刻，作PE⊥CD于點E，QF⊥CD于點F．問兩動點運動多長時間時△OPE與△OQF全等？

Answer 1

分析 （1）根據題意即可得到結論；
（2）設運動的時間為t秒，（i）當點P、Q分別在y軸、x軸上時（ii）當點P、Q都在y軸上時，（iii）當點P在x軸上，Q在y軸時若二者都沒有提前停止，當點Q提前停止時，列方程即可得到結論．

解答 解：（1）如圖，∵∠DBO=∠ABO，OB⊥AE，
∴∠BAO=∠BEO，
∴AB=BE，
∴AO=OE，
∵∠CAy=∠BAO，
∴∠CAy=∠BEO，
∴∠DEO=∠CAO
在△ACO與△EDO中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CAO=∠DEO}\\{OA=OE}\\{∠AOC=∠DOE}\end{array}\right.$，
∴△ACO≌△EDO，
∴∠C=∠D，AC=DE，
∴AC∥BD，AC=BD-10；
（2）設運動的時間為t秒，
（i）當點P、Q分別在y軸、x軸上時PO=QO得：6-t=8-2t，解得t=2（秒），
（ii）當點P、Q都在y軸上時PO=QO得：6-t=2t-8，解得t=$\frac{14}{3}$（秒），
（iii）當點P在x軸上，Q在y軸時若二者都沒有提前停止，則PO=QO得：t-6=2t-8，解得t=2（秒）不合題意；
當點Q提前停止時，有t-6=6，解得t=12（秒），
綜上所述：當兩動點運動時間為2、$\frac{14}{3}$、12秒時，△OPE與△OQF全等．

點評 本題考查了全等三角形的判定，坐標與圖形的性質，正確的理解題意是解題的關鍵．