Question

15．已知△ABC與△ADE是等邊三角形，點B、A、D在一條直線上，∠CPN=60°交直線AE與點N；
（1）若點P在線段AB上運動，如圖1、（不與A、B重合）猜想線段PC、PN 的數(shù)量關(guān)系并證明．
（2）若點P在線段AD上運動、（不與A、D重合），在圖2中畫出圖形，猜想線段PC、PN 的數(shù)量關(guān)系并證明
（3）總結(jié)：若點P在直線AB上運動、（不與A、B、D重合），線段PC、PN 的數(shù)量關(guān)系會保持不變嗎？（不需要寫出證明過程）

Answer 1

分析 （1）在AC上截取AF=AP，可得△PCF≌△PNA，所以PC=PN；
（2）當P在AD上時，∠CPN的一邊PN交AE的延長線于N，此時也有PC=PN過P作AC的平行線交BC的延長線于F，由平行線的性質(zhì)可得出∠F=∠BCA=60°，故可得出∠F=∠APF，根據(jù)全等三角形的判定定理得出△PCF≌△NPA，由全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（3）無論點P在AB上如何移動，都存在△PCF≌△PNA，所以他們的數(shù)量關(guān)系不變．

解答 解：（1）PC=PN；理由如下：
如圖1所示，在AC上截取AF=AP，
∵AP=AF，∠BAC=60°，
∴△APF為等邊三角形，
∴PF=PA，
∵∠CPF+∠FPN=60°，∠FPN+∠NPA=60°，
∴∠CPF=∠APN，在△PCF和△PNA中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CPF=∠APN}&{\;}\\{PF=PA}&{\;}\\{∠PFC=∠PAN}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△PCF≌△PNA（ASA），
∴PC=PN；
（2）PC=PN；理由如下：
當P在AD上時，∠CPN的一邊PN交AE的延長線于N，此時也有PC=PN；
過P作AC的平行線交BC的延長線于F，如圖2所示：
∴∠F=∠BCA=60°，∠APF=∠BAC=60°，
∴∠F=∠APF，
∴CF=AP，
∵∠CPN=60°，
∴∠NPF=60°-∠FPC，
∵∠BPC=60°-∠CPF，
∴∠NPF=∠BPC，
∵∠F=∠PAN=60°，
∴∠FCP=∠APN=60°+∠APC，
在△PCF和△NPA中，$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠NAP}&{\;}\\{∠FCP=∠APN}&{\;}\\{CF=AP}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△PCF≌△NPA（AAS），
∴PC=PN；
（3）線段PC、PN的數(shù)量關(guān)系保持不變；
無論點P在AB上哪個點，都有△PCF≌△PNA，
∴PC，PN的數(shù)量關(guān)系不變．

點評 本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)；熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)，能夠利用全等三角形求解線段之間的關(guān)系，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．